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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Independence, Conditional Expectation

verfasst von : Rabi Bhattacharya, Edward C. Waymire

Erschienen in: A Basic Course in Probability Theory

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

The notions of statistical independence, conditional expectation and conditional probability are the cornerstones of probability theory.

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Fußnoten
1
Criteria for percolation on the d-dimensional integer lattice is a much deeper and technically challenging problem. In the case \(d=2\) the precise identification of the critical probability for (bond) percolation as \(p_c = {1\over 2}\) is a highly regarded mathematical achievement of Harry Kesten, see Kesten, H. (1982). For \(d\ge 3\) the best known results for \(p_c\) are expressed in terms of bounds.
 
2
Recall that the \(\sigma \)-field \(\mathcal{G}_i \) generated by \(\cup _{t\in \varLambda _i} \mathcal{F}_t\) is referred to as the join \(\sigma \)-field and denoted \(\bigvee _{t\in \varLambda _i}\mathcal{F}_t\).
 
3
This inequality appears in J. Neveu (1988): Multiplicative martingales for spatial branching processes, Seminar on Stochastic Processes, 223–242, with attribution to joint work with Brigitte Chauvin.
 
4
Counterexamples have been constructed, see for example, Halmos (1950), p. 210.
 
5
The Doob–Blackwell theorem provides the existence of a regular conditional distribution of a random map Y, given a \(\sigma \)-field \(\mathcal{G}\), taking values in a Polish space equipped with its Borel \(\sigma \)-field \(\mathcal{B}(S)\). For a proof, see Breiman (1968), pp. 77–80.
 
Metadaten
Titel
Independence, Conditional Expectation
verfasst von
Rabi Bhattacharya
Edward C. Waymire
Copyright-Jahr
2016
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-47974-3_2