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Erschienen in:
2012 | OriginalPaper | Buchkapitel
Inhalte, Prämaße, Maße
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Ein Inhalt ist eine nicht-negative numerische Funktion auf einem Mengenring mit der Eigenschaft, dass der Inhalt einer Vereinigung zweier punktfremder Mengen gleich der Summe der Inhalte der einzelnen Mengen ist. Wichtig für die Integrations-Theorie ist eine Verschärfung dieser Eigenschaft, die σ-Additivität. Ein Inhalt heißt σ-additiv, wenn der Inhalt einer abzählbaren Vereinigung punktfremder Mengen gleich der Summe der Inhalte der einzelnen Mengen ist. Der elementar-geometrische Inhalt auf dem Mengenring der Quadersummen im ℝ
n
hat diese Eigenschaft. Sie ist wesentlich dafür, dass man diesen Inhalt zu einem Maß auf der Borel-Algebra des ℝ
n
fortsetzen kann, was im nächsten Paragraphen durchgeführt wird. Ein Maß ist dabei ein σ-additiver Inhalt, der auf einer σ-Algebra definiert ist.