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20.01.2018 | Ausgabe 2/2019

Cryptography and Communications 2/2019

Injectivity on distribution of elements in the compressed sequences derived from primitive sequences over \(\mathbb {Z}_{p^{e}}\)

Zeitschrift:
Cryptography and Communications > Ausgabe 2/2019
Autoren:
Lin Wang, Zhi Hu

Abstract

Let p ≥ 3 be a prime, e ≥ 2 an integer and \(\mathbb {Z}_{p^{e}}\) the residue ring modulo pe. Let σ(x) be a primitive polynomial of degree n over \(\mathbb {Z}_{p^{e}}\) and let G(σ(x), pe) be the set of primitive linear recurring sequences over \(\mathbb {Z}_{p^{e}}\) generated by σ(x). A compressing mapping \(\varphi :\mathbb {Z}_{p^{e}}\rightarrow \mathscr {A}\) naturally induces a mapping \(\widehat {\varphi }\) on G ′(σ(x), pe), i.e., \(\widehat {\varphi }\) maps a sequence (…,si− 1,si,si+ 1,… ) to (…,φ(si− 1),φ(si),φ(si+ 1),… ). For any pair of sequences in \(\{\widehat {\varphi }(\underline {s}):\underline {s}\in G^{\prime }_{~}(\sigma (x),p^{e})\}\), it is desirable to determine whether (at least) one element of \(\mathscr {A}\) is distributed differently in them. For \(\emptyset \neq D\subseteq \mathscr {A}\), \(\widehat {\varphi }\) is said to be injective on G ′(σ(x), pe) w.r.t. D-uniformity if for any two distinct sequences \(\underline {u},\underline {v}\in G^{\prime }_{~}(\sigma (x),p^{e})\), the distribution of at least one element of D in \(\widehat {\varphi }(\underline {u})\) differs from that in \(\widehat {\varphi }(\underline {v})\). A sufficient condition on φ is given to ensure that \(\widehat {\varphi }\) is injective on G ′(σ(x), pe) w.r.t. D-uniformity. If \(\left (\left ((x^{p^{n}-1}-1)^{2}\bmod \sigma (x)\right ) \bmod p^{3}\right ) \notin p^{2}\mathbb {Z}_{p}\), then an equivalent condition on φ is obtained to decide whether \(\widehat {\varphi }\) is injective on G ′(σ(x), pe) w.r.t. D-uniformity. Furthermore, quantitative estimation suggests that almost all mappings on \(\mathbb {Z}_{p^{e}}\) induce injective mappings on G ′(σ(x), pe) as p and e increase.

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