1. Integrale monotoner Funktionen

Das Kapitel widmet sich der detaillierten Untersuchung von Integralen monotoner Funktionen und deren Eigenschaften. Es beginnt mit der Definition des Integrals als Flächeninhalt, der von dem Graphen einer Funktion über einem Intervall und den entsprechenden Geraden eingeschlossen wird. Diese geometrische Interpretation wird ausführlich erläutert, wobei insbesondere die Verträglichkeit mit positiven und negativen reellen Faktoren sowie die Additivität des Integrals bezüglich Zerlegungen des Integrationsbereichs hervorgehoben werden. Ein zentrales Ergebnis ist die Verallgemeinerung des Integralbegriffs auf beliebige Funktionen, wodurch das Integral zu einem orientierten Flächeninhalt wird. Dies ermöglicht eine umfassende Theorie der Integralberechnung, die auch für stückweise monotone Funktionen gilt. Ein weiterer Schwerpunkt des Kapitels ist die Annäherung von Integralen durch Rechtecksummen. Es wird gezeigt, wie man durch geeignete Unterteilungen des Intervalls und die Anwendung eines Lemmas präzise Abschätzungen für den Fehler der Annäherung erhält. Diese Methode, die bereits Leibniz bekannt war, wird sowohl geometrisch als auch algebraisch begründet. Abschließend wird die Charakterisierung der Integralfunktionen monotoner Funktionen behandelt. Es wird gezeigt, dass eine Funktion genau dann eine Integralfunktion zu einer monotonen Funktion ist, wenn sie bestimmte Differenzenquotienten-Eigenschaften erfüllt. Diese Charakterisierung bietet eine tiefere Einsicht in die Struktur von Integralfunktionen und deren Berechnung.