Integralrechnung frei nach Leibniz

In diesem, ersten Kapitel werden zum einen die grundlegenden Begriffe wie Integral und Monotonie zusammengestellt und erläutert. Zum anderen wird mittels elementarer Überlegungen gezeigt, dass sich der Flächeninhalt unter dem Graphen einer monotonen – nicht notwendigerweise stetigen – Funktion durch Summen der Flächeninhalte achsenparalleler Rechtecke mit beliebig vorgegebener Genauigkeit annähern läßt. Und zum dritten werden Integralfunktionen monotoner Funktionen charakterisiert, also Funktionen, die die Werte des Integrals dadurch liefern, dass man die Werte dieser Funktion an den Integrationsgrenzen von einander subtrahiert. An dieser Stelle wird das einzige Grenzwertargument für die Integrationtheorie monotoner Funktionen verwendet.

In diesem Kapitel wird die Leistungsfähigkeit der Integrationstheorie monotoner Funktionen an den elementaren Funktionen belegt, die im Analysisunterricht der Sekundarstufe II verwendet werden. Um eine Integralfunktion eines Monoms mit einer natürlichen Zahl als Exponenten zu bestimmen, wird dabei nicht, wie sonst zumeist üblich, die Formel für Summen der Potenzen der ersten natürlichen Zahlen verwendet, sondern es reicht die endliche geometrische Reihe als Hilfsmittel aus. Um Integralfunktionen der Exponentialfunktion sowie der Sinus- und der Cosinusfunktion zu bestimmen, werden hingegen Standardabschätzungen eingesetzt, die auch bei der Bestimmung der Ableitungen dieser Funktionen zum Einsatz kommen.

Nachdem in den ersten beiden Kapiteln die Integrationstheorie für monotone Funktionen entwickelt und auf die elementaren Funktionen des Analysisunterrichts angewendet wurde, wird diese Theorie in diesem Kapitel aus verschiedenen Perspektiven reflektiert und insbesondere mit der klassischen „epsilontischen“ Riemannschen Integrationstheorie verglichen. Zum einen geht es um die Leistungsfähigkeit, auch im Hinblick auf die Anschlussfähigkeit in den Anfängervorlesungen eines Mathematikstudiums. Zum anderen wird der benötigte technische Aufwand diskutiert, gerade im mathematikdidaktischen Zusammenhang mit der Forderung der Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife nach einem Zugang zur Integralrechnung mittels eines „propädeutischen Grenzwertbegriffs“.

In dem 1676 abgeschlossenen Manuskript De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae [...] hat Gottfried Wilhelm Leibniz nicht nur die Flächen unter einzelnen Kurven bestimmt, sondern auch grundlegende Überlegungen zu einer Integrationstheorie angestellt. Dieser Text, der die Idee zu der vorliegenden Integrationstheorie für monotone Funktionen geliefert hat, wird in diesem Kapitel vom Standpunkt der Mathematikgeschichte aus analysiert.

In Fortsetzung der Anwendungen der Integrationstheorie für monotone Funktionen in Kapitel 2 werden in diesem Kapitel weitere Integralfunktionen bestimmt, etwa für sämtliche Monome mit ganzzahligen Exponenten oder für Wurzeln. Es werden aber auch allgemeine Rechenregeln wie die der partiellen Integration oder die Substitutionsregel hergeleitet, zum einen, um einige der eben erwähnten Resultate zu erhalten, zum anderen aber auch, um zu belegen, dass der beschriebene Zugang zur Integralrechnung in der Tat ein allgemeines Verfahren und nicht auf spezielle Eigenschaften einzelner Beispiele angewiesen ist.

Für die dargestellte Integrationstheorie für monotone Funktionen ist kein Rückgriff auf den üblichen Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erforderlich. Im letzten Kapitel werden jedoch die gefundenen Ergebnisse mit dem Hauptsatz verglichen. Dabei wird ausgenutzt, dass bei der Integration einer monotonen Funktion diese stets die Steigung einer Stützgeraden an ihre Integralfunktion angibt. Dies liefert ein Analogon des Hauptsatzes, in dem die Rolle der Tangente durch die der Stützgeraden ersetzt wird, wobei beide Geradentypen eine Aussage über den Verlauf des Graphen der Integralfunktion machen. Damit ergibt sich auch eine Analogie der entwickelten Integrationstheorie für monotone Funktionen zur Differentialrechnung für konvexe bzw. konkave Funktionen.