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Erschienen in:
2016 | OriginalPaper | Buchkapitel
9. Integralsätze
verfasst von : Christian B. Lang, Norbert Pucker
Erschienen in: Mathematische Methoden in der Physik
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Wir haben schon in Kap. Oberflächenintegrale der Form behandelt. Der Integrand \(\mbox{\boldmath{$n$}}\cdot\mbox{\boldmath{$F$}}\) beschreibt den senkrechten Durchsatz des Vektorfeldes durch das Flächenelement dA. Insgesamt liefert das Integral über eine geschlossene Fläche S den Nettodurchsatz von F durch das von der Fläche umschlossene Volumen V (vgl. Abschn. ).
$${}\mkern-7.0mu\mkern-2.0mu\mathop{\mkern 7.0mu\mkern 2.0mu\intop\mkern-6.0mu\mkern-3.0mu\intop}_{S}dA\;\mbox{\boldmath{$n$}}\cdot\mbox{\boldmath{$F$}}$$
(9.1)
In den zu () führenden Überlegungen haben wir einen Quader mit den Seitenflächen (entsprechend Flächendifferenzialen \(dA_{i}(i=1\ldots 6)\)) betrachtet und gesehen, dass den Nettodurchfluss von F darstellt. Das von den Seitenflächen umschlossene Volumendifferenzial ist dV. Vergrößert man das Volumen, indem man einen zweiten Quader an einer Seitenfläche hinzufügt, trägt der Fluss durch die Berührungsfläche zum Nettodurchfluss nichts bei, da er ja bei einem Quader positiv und beim anderen negativ gezählt wird und sich daher aufhebt (Abb. 9.1) Wichtig sind nur die Außenflächen. Man kann sich jedes endliche Volumen V aus – vielleicht unendlich – vielen kleinen Quadern aufgebaut denken …
$$dV\,{\mbox{\boldmath{$\nabla$}}}\cdot\mbox{\boldmath{$F$}}=\sum_{i=1}^{6}dA_{i}\,\mbox{\boldmath{$n$}}_{i}\cdot\mbox{\boldmath{$F$}}$$
(9.2)