9. Integration im ℝ ⁿ

Mehrdimensionale Intervalle, Partitionen und ihre Feinheit werden eingeführt und Riemannsche Summen bei Funktionen von mehreren Variablen erklärt. Das Integral ergibt sich wieder als Grenzwert Riemannscher Summen.

Vertauschungen bei der Summenbildung führen auf das fundamentale Konzept der iterierten Integration und den Satz von Fubini. Integrale über mehrdimensionale Intervalle können auf eindimensionale Integrationen zurückgeführt werden. Der weitere Aufbau zielt auf die Verallgemeinerung des Integrationsgebiets. Von Intervallen gehen wir zu Mengen über, die längs einer Koordinatenachse projiziert werden können. Die Integration kann nach der Projektion iteriert unter Reduktion der Dimension ausgeführt werden. Typische Anwendung findet man in der Berechnung der Volumina beliebiger Körper nach dem Prinzip von Cavalieri. Die Beschreibung des Interationsgebiets stellt eine der wesenlichen Schwierigkeiten der mehrdimensionalen Integration dar. Die Substitutionsregel hat nicht nicht nur wie im eindimensionalen Fall die Aufgabe die Integration zu vereinfachen, sondern das Integrationsgebiet einer übersichtlichen Beschreibung zuzuführen. Typische Beispiele schildern die Beschreibung von Gebieten in den klassischen Koordinatensystemen Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten.