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Erschienen in:
2015 | OriginalPaper | Buchkapitel
5. Integration
verfasst von : Walter Strampp
Erschienen in: Höhere Mathematik 2
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Zusammenfassung
Der Integralbegriff geht vom Flächenbegriff aus.
Flächen unter Kurven werden durch Summen von Rechtecksflächen berechnet. Allgemein werden mit Riemannschen Summen über Grenzwertbildungen Integrale definiert. Wichtige Eigenschaften, wie Linearität, Intervalladditivität sowie Abschätzungen gestatten die Umwandlung eines Integrals in eine Rechtecksfläche. Damit bekommt man den Hauptsatz: Das Integral kann nach der oberen Grenze abgeleitet werden und stellt eine Stammfunktion der Ausgangsfunktion dar. Die Berechnung des Integrals kann auf die Herstellung einer Stammfunktion reduziert werden.
Diesem Problem sind die Abschnitte partielle Integration und Substitution gewidmet. Neben den allgemeinen Zugängen gibt es zahlreichen Methoden für bestimmte Funktionenklassen. Wir betrachten nur die wichtige Klasse der rationalen Funktionen und die Methode der Partialbruchzerlegung.
Schließlich geben wir die Vorraussetzungen der stetigen Funktion und des beschränkten Integrationsintervalls auf. Durch Grenzübergänge behandeln wir diese Fälle im Rahmen der uneigentlichen Integration.