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Erschienen in:
2018 | OriginalPaper | Buchkapitel
12. Integrationstechniken – Tipps, Tricks und Näherungsverfahren
verfasst von : Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel
Erschienen in: Mathematik
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Wir haben bisher gesehen, was die prinzipiellen Ideen sind, die zum Integralbegriff geführt haben. Auch Anwendungen in den unterschiedlichsten Gebieten wurden schon angerissen. Nun müssen wir uns aber mit einem eher technischen Thema auseinandersetzen, nämlich der Frage, ob und wie man für allgemeine, beliebig zusammengesetzte Funktionen jeweils Stammfunktion angeben, sie also integrieren kann.
Die Antwort ist ebenso kurz wie erst einmal enttäuschend: Eine allgemeine Methode, Stammfunktionen zu finden, quasi eine unmittelbare Entsprechung zu den universellen Ableitungsregeln gibt es nicht. Tatsächlich kennt man genug Funktionen, deren Stammfunktionen sich bewiesenermaßen nicht mehr mittels elementarer Funktionen ausdrücken lassen. Nichtsdestotrotz werden wir in diesem Kapitel eine Sammlung von Techniken und Tricks kennenlernen, mit denen sich doch viele Integrale in den Griff bekommen lassen. Dies sind quasi die Haken und Seile unserer Integrations-Klettertouren.
So automatisiert wie beim Differenzieren geht es bei der Integration aber trotzdem selten zu – ein Indiz dafür ist, dass Computeralgebrasysteme keine Probleme haben, auch komplizierteste Ausdrücke in Sekundenbruchteilen zu differenzieren, an Integralen hingegen immer noch oft scheitern oder zumindest unnötig komplizierte und unübersichtliche Ausdrücke produzieren. Intuition und Übung spielen bei Integrationsaufgaben eine entscheidende Rolle.