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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. Integrierte Prozesse

verfasst von: Klaus Neusser, Martin Wagner

Erschienen in: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Auszug

Die bisherige Darstellung beschränkte sich auf stationäre Prozesse, insbesondere stationäre ARMA-Prozesse. Für stationäre Prozesse gibt es aufgrund des Theorems von Wold (siehe Theorem 4.​1) folgende Darstellung:
$$\displaystyle \begin{aligned} X_t = \mu + \varPsi(\mathrm{L}) Z_t, \end{aligned}$$
mit Z t ∼WN(0, σ 2) und \(\sum _{j=0}^\infty \psi _j^2 < \infty \), wobei hier der Erwartungswert nicht auf null gesetzt wird, sondern \(\mathbb {E} X_t = \mu \) Berücksichtigung findet. Typischerweise wird X t als ARMA-Prozess modelliert, sodass \(\varPsi (\mathrm {L}) = \frac {\varTheta (\mathrm {L})}{\varPhi (\mathrm {L})}\). …
Fußnoten
1
Beweis. Da {ψj} gemäß Annahme absolut summierbar ist, ist Ψ(1) wohl definiert. Da Ψ(1) ≠ 0 ist, existieren ein ε > 0 und eine ganze Zahl m, sodass \(\left |\sum _{j=0}^h \psi _j\right | > \varepsilon \) für alle h > m. Daher sind die Quadrate durch ε2 > 0 nach unten beschränkt und deren unendliche Summe divergiert.
 
2
Eine Zerlegung in der Art der Beveridge-Nelson-Zerlegung ist auch für Integrationsordnungen größer als eins möglich (siehe Neusser [207]).
 
3
Für diese und folgende Abbildungen wurde für die Schätzung der Dichte das adaptive Verfahren der Kerndichteschätzung mit Epanechnikov-Kernfunktion verwendet (siehe Silverman [252]).
 
4
Um exakt zu sein, folgt die Konvergenz des ersten Terms gegen das Quadrat der Standardnormalverteilung aus Theorem .
 
5
Dies ist natürlich kein exaktes Argument, sondern lediglich eine Heuristik, um ein „Gefühl“ für das Verhalten des Nenners zu bekommen.
 
6
Unter Verwendung von Itô's Lemma, siehe Protter [232, Kapitel 2], kann man zeigen, dass \(\int _0^1 W(s)\mathrm {d}W(s)\) gleich der oben gefundenen Verteilung, \(\frac {1}{2}(\chi _1^2-1)\), ist. Es gilt für zweifach stetig diffrenzierbare Funktionen, dass \(f(W(t)) - f(W(0))=\int _0^t f'(W(s))\mathrm {d}W(s)+\frac {1}{2}\int _0^t f^{\prime \prime }(W(s))\mathrm {d}s\) ist. Mit \(f(x) = \frac {x^2}{2}\), W(1) ∼N(0,  1) und W(0) = 0 folgt das Resultat.
 
7
Diese Interpolationsformeln werden in vielen Softwarepaketen zur Berechnung der kritischen Werte herangezogen, so etwa auch in EViews.
 
8
Wir werden gleich noch darauf zu sprechen kommen, dass auch serielle Korrelation in {Zt} eine Änderung der Vorgangsweise notwendig macht.
 
9
Die genauen Bedingungen sind in Phillips [223] und Phillips und Perron [227] nachzulesen.
 
10
Diese Ausführungen folgen Elder und Kennedy [90].
 
11
Eventuell müssen, wenn serielle Korrelation vorliegt, noch die Regressoren ΔXtj, j > 0 berücksichtigt und ein ADF-Test durchgeführt werden bzw. ein PP-Test.
 
12
Eventuell müssen, wenn serielle Korrelation vorliegt, noch die Regressoren ΔXtj, j > 0 berücksichtigt und ein ADF-Test durchgeführt werden bzw. ein PP-Test.
 
13
Eventuell müssen die Standardabweichungen wegen möglicher Autokorrelation korrigiert werden. Dies wird durch die Verwendung der langfristigen Varianz anstatt der üblichen Varianz gewährleistet. Diese Korrektur wird in der Literatur oftmals auch als Newey-West-Korrektur bezeichnet.
 
14
Der kritische Wert ändert sich leicht, da sich durch die Einbeziehung der zusätzlichen verzögerten Terme die Stichprobengröße ändert und wir hier interpolierte kritische Werte verwenden, vgl. MacKinnon [190].
 
15
Dass das Infinum über Λ statt über (0,  1) gebildet wird, hat ausschließlich theoretische Gründe. In der Praxis spielt die Wahl von Λ keine Rolle. Man kann z. B.Λ = [0, 01, 0, 99] wählen.
 
16
Wenn die Daten keinen Trend aufweisen, kann δ gleich null gesetzt werden.
 
17
Für eine erste genaue Analyse siehe Phillips [222]. Analoge Resultate gelten auch im Fall von serieller Korrelation in {Ut} und {Vt}.
 
18
Dabei ist es irrelevant, welche der Variablen Xt und Yt als abhängige Variable betrachtet wird.
 
19
Das Problem generierter Regressoren wurde von Nichols und Pagan [212] bzw. Pagan [217] eingehend analysiert.
 
20
Die langfristige Varianz dieser beiden Prozesse muss ungleich null sein.
 
21
Die Nuisance-Parameter hängen von der dynamischen Korrelationsstruktur zwischen {Vt} und {Ut} ab.
 
22
Der entsprechende kritische Wert gemäß den Interpolationsformeln von MacKinnon [190] lautet −3,371.
 
23
Beispiele finden Sie auch auf unserer Homepage https://​www.​aau.​at/​neusser-wagner.
 
Literatur
16.
Zurück zum Zitat Banerjee, A., Dolado, J.J., Galbraith, J.W., Hendry, D.F.: Co-Integration, Error-Correction, and the Econometric Analysis of Non-stationary Data. Oxford University Press, Oxford (1993) MATHCrossRef Banerjee, A., Dolado, J.J., Galbraith, J.W., Hendry, D.F.: Co-Integration, Error-Correction, and the Econometric Analysis of Non-stationary Data. Oxford University Press, Oxford (1993) MATHCrossRef
31.
Zurück zum Zitat Billingsley, P.: Probability and Measure, 2. Aufl. Wiley Series in Probability and Statistics. Wiley, New York (1986) MATH Billingsley, P.: Probability and Measure, 2. Aufl. Wiley Series in Probability and Statistics. Wiley, New York (1986) MATH
50.
Zurück zum Zitat Campbell, J.Y., Mankiw, N.G.: Are output fluctuations transitory? Q. J. Econ. 102, 857–880 (1987) MATHCrossRef Campbell, J.Y., Mankiw, N.G.: Are output fluctuations transitory? Q. J. Econ. 102, 857–880 (1987) MATHCrossRef
51.
Zurück zum Zitat Campbell, J.Y., Perron, P.: Pitfalls and opportunities: What macroeconomists should know about unit roots. In: Blanchard, O.J., Fischer, S. (Hrsg.) NBER Macroeconomics Annual 1991, Bd. 6, S. 141–201. MIT Press, Cambridge, MA (1991) Campbell, J.Y., Perron, P.: Pitfalls and opportunities: What macroeconomists should know about unit roots. In: Blanchard, O.J., Fischer, S. (Hrsg.) NBER Macroeconomics Annual 1991, Bd. 6, S. 141–201. MIT Press, Cambridge, MA (1991)
58.
Zurück zum Zitat Christiano, L.J., Eichenbaum, M.: Unit roots in real GNP: Do we know and do we care? Carn.-Roch. Conf. Ser. Public Policy 32, 7–62 (1990) Christiano, L.J., Eichenbaum, M.: Unit roots in real GNP: Do we know and do we care? Carn.-Roch. Conf. Ser. Public Policy 32, 7–62 (1990)
60.
Zurück zum Zitat Christiano, L.J., Eichenbaum, M., Vigfusson, R.J.: What happens after a technology shock? NBER Working Paper 9819, NBER (2003) Christiano, L.J., Eichenbaum, M., Vigfusson, R.J.: What happens after a technology shock? NBER Working Paper 9819, NBER (2003)
62.
Zurück zum Zitat Cochrane, J.H.: How big is the random walk in GNP? J. Polit. Econ. 96, 893–920 (1988) CrossRef Cochrane, J.H.: How big is the random walk in GNP? J. Polit. Econ. 96, 893–920 (1988) CrossRef
83.
Zurück zum Zitat Dickey, D.A., Fuller, W.A.: Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. J. Am. Stat. Assoc. 74, 427–431 (1976) MathSciNetMATH Dickey, D.A., Fuller, W.A.: Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. J. Am. Stat. Assoc. 74, 427–431 (1976) MathSciNetMATH
84.
Zurück zum Zitat Dickey, D.A., Fuller, W.A.: Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root. Econometrica 49, 1057–1072 (1981) MathSciNetMATHCrossRef Dickey, D.A., Fuller, W.A.: Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root. Econometrica 49, 1057–1072 (1981) MathSciNetMATHCrossRef
90.
Zurück zum Zitat Elder, J., Kennedy, P.E.: Testing for unit roots: What should students be taught? J. Econ. Educ. 32, 137–146 (2001) CrossRef Elder, J., Kennedy, P.E.: Testing for unit roots: What should students be taught? J. Econ. Educ. 32, 137–146 (2001) CrossRef
95.
Zurück zum Zitat Engle, R.F., Granger, C.W.J.: Co-integration and error correction: Representation, estimation and testing. Econometrica 55, 251–276 (1987) MathSciNetMATHCrossRef Engle, R.F., Granger, C.W.J.: Co-integration and error correction: Representation, estimation and testing. Econometrica 55, 251–276 (1987) MathSciNetMATHCrossRef
107.
Zurück zum Zitat Fuller, W.A.: Introduction to Statistical Time Series, 2. Aufl. Wiley, New York (1996) MATH Fuller, W.A.: Introduction to Statistical Time Series, 2. Aufl. Wiley, New York (1996) MATH
109.
Zurück zum Zitat Galí, J.: Technology, employment, and the business cycle: Do technology shocks explain aggregate fluctuations? Am. Econ. Rev. 89, 249–271 (1999) CrossRef Galí, J.: Technology, employment, and the business cycle: Do technology shocks explain aggregate fluctuations? Am. Econ. Rev. 89, 249–271 (1999) CrossRef
129.
Zurück zum Zitat Granger, C.W.J., Newbold, P.: Spurious regression in econometrics. J. Econ. 2, 111–120 (1974) MATHCrossRef Granger, C.W.J., Newbold, P.: Spurious regression in econometrics. J. Econ. 2, 111–120 (1974) MATHCrossRef
135.
137.
Zurück zum Zitat Hannan, E.J., Deistler, M.: The Statistical Theory of Linear Systems. Wiley, New York (1988) MATH Hannan, E.J., Deistler, M.: The Statistical Theory of Linear Systems. Wiley, New York (1988) MATH
139.
Zurück zum Zitat Harvey, A.C.: Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge University Press, Cambridge (1989) Harvey, A.C.: Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge University Press, Cambridge (1989)
142.
Zurück zum Zitat Hauser, M.A., Pötscher, B.M., Reschenhofer, E.: Measuring persistence in aggregate output: ARMA models, fractionally integrated ARMA models and nonparametric procedures. Empir. Econ. 24, 243–269 (1999) CrossRef Hauser, M.A., Pötscher, B.M., Reschenhofer, E.: Measuring persistence in aggregate output: ARMA models, fractionally integrated ARMA models and nonparametric procedures. Empir. Econ. 24, 243–269 (1999) CrossRef
177.
Zurück zum Zitat Kwiatkowski, D., Phillips, P.C.B., Schmidt, P., Shin, Y.: Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root: How sure are we that economic time series have a unit root? J. Econ. 54, 159–178 (1992) MATHCrossRef Kwiatkowski, D., Phillips, P.C.B., Schmidt, P., Shin, Y.: Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root: How sure are we that economic time series have a unit root? J. Econ. 54, 159–178 (1992) MATHCrossRef
190.
Zurück zum Zitat MacKinnon, J.G.: Critical values for co-integration tests. In: Engle, R.F., Granger, C.W.J. (Hrsg.) Long-Run Economic Relationships, S. 267–276. Oxford University Press, Oxford (1991) MacKinnon, J.G.: Critical values for co-integration tests. In: Engle, R.F., Granger, C.W.J. (Hrsg.) Long-Run Economic Relationships, S. 267–276. Oxford University Press, Oxford (1991)
196.
Zurück zum Zitat Mills, T.C.: Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series. Palgrave Texts in Econometrics. Palgrave Macmillan, Basingstoke (2003) CrossRef Mills, T.C.: Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series. Palgrave Texts in Econometrics. Palgrave Macmillan, Basingstoke (2003) CrossRef
202.
Zurück zum Zitat Nelson, C.R., Plosser, C.I.: Trends and random walks in macro-economic time series: Some evidence and implications. J. Monet. Econ. 10, 139–162 (1982) CrossRef Nelson, C.R., Plosser, C.I.: Trends and random walks in macro-economic time series: Some evidence and implications. J. Monet. Econ. 10, 139–162 (1982) CrossRef
211.
Zurück zum Zitat Ng, S., Perron, P.: Unit root tests in ARMA models with data dependent methods for the selection of the truncation lag. J. Am. Stat. Assoc. 90, 268–281 (1995) MathSciNetMATHCrossRef Ng, S., Perron, P.: Unit root tests in ARMA models with data dependent methods for the selection of the truncation lag. J. Am. Stat. Assoc. 90, 268–281 (1995) MathSciNetMATHCrossRef
212.
Zurück zum Zitat Nicholls, D.F., Pagan, A.R.: Estimating predictions, prediction errors and their standard deviations using constructed variables. J. Econ. 24, 293–310 (1984) MathSciNetCrossRef Nicholls, D.F., Pagan, A.R.: Estimating predictions, prediction errors and their standard deviations using constructed variables. J. Econ. 24, 293–310 (1984) MathSciNetCrossRef
217.
Zurück zum Zitat Pagan, A.R.: Econometric issues in the analysis of regressions with generated regressors. Int. Econ. Rev. 25, 183–209 (1984) MathSciNetMATHCrossRef Pagan, A.R.: Econometric issues in the analysis of regressions with generated regressors. Int. Econ. Rev. 25, 183–209 (1984) MathSciNetMATHCrossRef
220.
Zurück zum Zitat Perron, P.: The Great Crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis. Econometrica 57, 1361–1401 (1989) MATHCrossRef Perron, P.: The Great Crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis. Econometrica 57, 1361–1401 (1989) MATHCrossRef
221.
Zurück zum Zitat Perron, P.: Dealing with structural breaks. In: Patterson, K., Mills, T.C. (Hrsg.) Palgrave Handbook of Econometrics, Bd. 1, S. 278–352. Palgrave MacMillan, Basingstoke (2006) Perron, P.: Dealing with structural breaks. In: Patterson, K., Mills, T.C. (Hrsg.) Palgrave Handbook of Econometrics, Bd. 1, S. 278–352. Palgrave MacMillan, Basingstoke (2006)
225.
Zurück zum Zitat Phillips, P.C.B., Hansen, B.E.: Statistical inference in instrumental variables regresssion with I(1) processes. Rev. Econ. Stud. 57, 99–125 (1990) MATHCrossRef Phillips, P.C.B., Hansen, B.E.: Statistical inference in instrumental variables regresssion with I(1) processes. Rev. Econ. Stud. 57, 99–125 (1990) MATHCrossRef
226.
Zurück zum Zitat Phillips, P.C.B., Ouliaris, S.: Asymptotic properties of residual based tests of cointegration. Econometrica 58, 165–193 (1990) MathSciNetMATHCrossRef Phillips, P.C.B., Ouliaris, S.: Asymptotic properties of residual based tests of cointegration. Econometrica 58, 165–193 (1990) MathSciNetMATHCrossRef
227.
232.
Zurück zum Zitat Protter, P.E.: Stochastic Integration and Differential Equations. Applications of Mathematics: Stochastic Modelling and Applied Probability, Bd. 21, 2. Aufl. Springer, Berlin (2004) Protter, P.E.: Stochastic Integration and Differential Equations. Applications of Mathematics: Stochastic Modelling and Applied Probability, Bd. 21, 2. Aufl. Springer, Berlin (2004)
241.
Zurück zum Zitat Said, S.E., Dickey, D.A.: Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order. Biometrika 71, 599–607 (1984) MathSciNetMATHCrossRef Said, S.E., Dickey, D.A.: Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order. Biometrika 71, 599–607 (1984) MathSciNetMATHCrossRef
242.
Zurück zum Zitat Saikkonen, P.: Asymptotically efficient estimation of cointegration regressions. Econ. Theory 7(1), 1–21 (1991) MathSciNetCrossRef Saikkonen, P.: Asymptotically efficient estimation of cointegration regressions. Econ. Theory 7(1), 1–21 (1991) MathSciNetCrossRef
252.
Zurück zum Zitat Silverman, B.W.: Density Estimation. Chapman and Hall, London (1986) MATH Silverman, B.W.: Density Estimation. Chapman and Hall, London (1986) MATH
268.
Zurück zum Zitat Vogelsang, T.J.: Wald-type tests for detecting breaks in the trend function of a dynamic time series. Econ. Theory 13, 818–849 (1997) MathSciNetCrossRef Vogelsang, T.J.: Wald-type tests for detecting breaks in the trend function of a dynamic time series. Econ. Theory 13, 818–849 (1997) MathSciNetCrossRef
269.
270.
Zurück zum Zitat Vogelsang, T.J., Wagner, M.: Integrated modified OLS estimation and fixed-b inference for cointegrating regressions. J. Econ. 178, 741–760 (2014) MathSciNetMATHCrossRef Vogelsang, T.J., Wagner, M.: Integrated modified OLS estimation and fixed-b inference for cointegrating regressions. J. Econ. 178, 741–760 (2014) MathSciNetMATHCrossRef
282.
Zurück zum Zitat Yule, G.U.: Why do we sometimes get nonsense correlations between time series? A study in sampling and the nature of time series. J. R. Stat. Soc. 89, 1–63 (1926) MATH Yule, G.U.: Why do we sometimes get nonsense correlations between time series? A study in sampling and the nature of time series. J. R. Stat. Soc. 89, 1–63 (1926) MATH
288.
Zurück zum Zitat Zivot, E., Andrews, D.W.K.: Further evidence on the Great Crash, the oil-price shock, and the unit-root hypothesis. J. Bus. Econ. Stat. 10, 251–270 (1992) Zivot, E., Andrews, D.W.K.: Further evidence on the Great Crash, the oil-price shock, and the unit-root hypothesis. J. Bus. Econ. Stat. 10, 251–270 (1992)
Metadaten
Titel
Integrierte Prozesse
verfasst von
Klaus Neusser
Martin Wagner
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_7

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