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07.11.2019

Inverse Potential Problems for Divergence of Measures with Total Variation Regularization

Zeitschrift:
Foundations of Computational Mathematics
Autoren:
L. Baratchart, C. Villalobos Guillén, D. P. Hardin, M. C. Northington, E. B. Saff
Wichtige Hinweise
Communicated by Endre Süli.
This research was supported, in part, by the U. S. National Science Foundation under Grant DMS-1521749, and by the INRIA grant to the associate team FACTAS.

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

We study inverse problems for the Poisson equation with source term the divergence of an \({{\mathbb {R}}}^3\)-valued measure, that is, the potential \(\varPhi \) satisfies
$$\begin{aligned} \Delta \varPhi = \nabla \cdot {{\varvec{\mu }}}, \end{aligned}$$
and \({{\varvec{\mu }}}\) is to be reconstructed knowing (a component of) the field \(\, {\mathrm{grad}}\,\varPhi \) on a set disjoint from the support of \({{\varvec{\mu }}}\). Such problems arise in several electro-magnetic contexts in the quasi-static regime, for instance when recovering a remanent magnetization from measurements of its magnetic field. We investigate methods for recovering \({{\varvec{\mu }}}\) by penalizing the measure theoretic total variation norm \(\Vert {{\varvec{\mu }}}\Vert _{\mathrm{TV}}\). We provide sufficient conditions for the unique recovery of \({{\varvec{\mu }}}\), asymptotically when the regularization parameter and the noise tend to zero in a combined fashion, when it is uni-directional or when the magnetization has a support which is sparse in the sense that it is purely 1-unrectifiable. Numerical examples are provided to illustrate the main theoretical results.

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