Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Mit diesem Buch gelingt dem Autor des bekannten Lehrwerkes Stochastik für Einsteiger auf geradezu spielerische Weise, den Leser mit zahlreichen überraschenden Zufallsphänomenen und Nicht-Standard-Grenzwertsätzen im Zusammenhang mit einfachen Irrfahrten und verwandten Themen zu fesseln. Das Werk besticht mit einer durchgängig problemorientierten, lebendigen Darstellung, zu der auch fast 100 anschauliche Bilder beitragen. Es wird immer wieder konkret Modellbildung betrieben, und die erhaltenen Ergebnisse werden ausführlich diskutiert und vernetzt. Studierende, die dieses Werk in Proseminaren zur Stochastik getestet haben, waren insbesondere vom Zusammenspiel von geometrischen Argumenten (Spiegelungsprinzip), Kombinatorik, elementarer Stochastik und Analysis fasziniert.
​Gegenüber der ersten, unter einem etwas anderen Titel erschienenen Auflage, wurden neben zahlreichen Korrekturen zusätzliche Erklärungen eingefügt und Aktualisierungen vorgenommen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Dieses einführende Kapitel beleuchtet den historischen Ursprung des Begriffs Irrfahrt und zitiert ein bahnbrechendes Resultat von George Pólya, wonach eine rein zufällige Irrfahrt auf dem ebenen ganzzahligen Gitter mit Wahrscheinlichkeit Eins wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt, in höheren Dimensionen jedoch nicht.

Norbert Henze

2. Die einfache symmetrische Irrfahrt auf ℤ – gedächtnisloses Hüpfen auf den ganzen Zahlen

Dieses Kapitel ist der einfachen symmetrischen Irrfahrt auf den ganzen Zahlen gewidmet. Eine solche Irrfahrt kann als Weg in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Für Irrfahrten gegebener Länge betrachten wir den Zeitpunkt der letzten Nullstelle sowie die Anzahl der Nullstellen, Verweilzeiten, Maximum und Minimum, Anzahl und Lage der Maximalstellen, Vorzeichenwechsel und das Betragsmaximum mit einer Anwendung auf einen Symmetrietest. Bei wachsender Länge ergeben sich viele überraschende Grenzwertsätze wie etwa das Arcus-Sinus-Gesetz für den Zeitpunkt der letzten Nullstelle und die Verweilzeit. Weitere Themen sind Erstwiederkehrzeit und Rekurrenz, Leiterzeitpunkte und Leiterepochen, Schnittpunkte von Irrfahrten sowie Dualität. Das Kapitel schließt mit einem Ausblick auf den Brown-Wiener-Prozess.

Norbert Henze

3. Brückenwege – Ausgleich nach 2n Zeitschritten

In diesem Kapitel geht es um verschiedene Fragen im Zusammenhang mit Brückenwegen, also Irrfahrten auf den ganzen Zahlen, die nach einer geraden Anzahl von Schritten zum Nullpunkt zurückkehren. Themenbereiche sind die Anzahl der Nullstellen, Verweilzeiten, Erstwiederkehrzeiten, das Maximum und das Minimum, Vorzeichenwechsel, das Betragsmaximum und der Kolmogorov-Smirnov-Test. Das Kapitel schließt mit einem Ausblick auf die Brownsche Brücke.

Norbert Henze

4. Asymmetrische Irrfahrten und Verwandtes

Dieses Kapitel betrachtet asymmetrische Irrfahrten auf den ganzen Zahlen sowie den Galton-Watson-Prozess. Die behandelten Themen umfassen Leiterzeitpunkte, Rekurrenz und Transienz, die Anzahl der Nullstellen, das Spieler-Ruin-Problem sowie längste Auf- und Abwärtsruns. Der Galton-Watson-Prozess modelliert eine einfache stochastische Populationsdynamik. Eine wichtige Frage ist hierbei, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein solcher Prozess ausstirbt.

Norbert Henze

5. Irrfahrten auf dem ganzzahligen Gitter in höheren Dimensionen

Dieses Kapitel betrachtet die Irrfahrt auf dem ganzzahligen Gitter in höheren Dimensionen. Ein zentrales Resultat ist der Satz von Pólya, nach dem eine symmetrische Irrfahrt in der Ebene mit Wahrscheinlichkeit Eins wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt, diese sogenannte Rekurrenzeigenschaft aber im drei- und höherdimensionalen Fall verloren geht. Weiteres Thema ist die Anzahl der von einer Irrfahrt gegebener Länge besuchten Zustände.

Norbert Henze

6. Hilfsmittel aus Analysis, Kombinatorik und Stochastik

In diesem Kapitel sind verschiedene Begriffe und Sachverhalte aus der Analysis, der Kombinatorik und der Stochastik zusammengestellt, die bei Bedarf nachgeschlagen werden können. Hierzu gehören unter anderem der Begriff der Verteilungskonvergenz, zentrale Grenzwertsätze, die Stirling-Formel, erzeugende Funktionen, Identitäten für Binomialkoeffizienten, die Binomialreihe, Legendre-Polynome und das Lemma von Borel-Cantelli.

Norbert Henze

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

micromStellmach & BröckersBBL | Bernsau BrockdorffMaturus Finance GmbHPlutahww hermann wienberg wilhelmAvaloq Evolution AG

BranchenIndex Online

Die B2B-Firmensuche für Industrie und Wirtschaft: Kostenfrei in Firmenprofilen nach Lieferanten, Herstellern, Dienstleistern und Händlern recherchieren.

Whitepaper

- ANZEIGE -

Blockchain-Effekte im Banking und im Wealth Management

Es steht fest, dass Blockchain-Technologie die Welt verändern wird. Weit weniger klar ist, wie genau dies passiert. Ein englischsprachiges Whitepaper des Fintech-Unternehmens Avaloq untersucht, welche Einsatzszenarien es im Banking und in der Vermögensverwaltung geben könnte – „Blockchain: Plausibility within Banking and Wealth Management“. Einige dieser plausiblen Einsatzszenarien haben sogar das Potenzial für eine massive Disruption. Ein bereits existierendes Beispiel liefert der Initial Coin Offering-Markt: ICO statt IPO.
Jetzt gratis downloaden!

Bildnachweise