Irrfahrten – Faszination der Random Walks

Ein elementarer Einstieg in die stochastischen Prozesse

verfasst von: Norbert Henze

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Mit diesem Buch gelingt dem Autor des bekannten Lehrwerkes Stochastik für Einsteiger auf geradezu spielerische Weise, den Leser mit zahlreichen überraschenden Zufallsphänomenen und Nicht-Standard-Grenzwertsätzen im Zusammenhang mit einfachen Irrfahrten und verwandten Themen zu fesseln. Das Werk besticht mit einer durchgängig problemorientierten, lebendigen Darstellung, zu der auch mehr als 100 anschauliche Bilder beitragen. Es wird immer wieder konkret Modellbildung betrieben, und die erhaltenen Ergebnisse werden ausführlich diskutiert und vernetzt. Studierende, die dieses Werk in Proseminaren zur Stochastik getestet haben, waren insbesondere vom Zusammenspiel von geometrischen Argumenten (Spiegelungsprinzip), Kombinatorik, elementarer Stochastik und Analysis fasziniert.

Gegenüber der 2. Auflage wurde das Werk unter anderem um einen Abschnitt über das diskrete Dirichlet-Problem sowie ein Kapitel mit Ausblicken erweitert. Zudem ist das Kapitel über mathematische Hilfsmittel jetzt deutlich ausführlicher. 74 Übungsaufgaben mit Lösungen sowie 51 Selbstfragen, die am Ende des jeweiligen Kapitels beantwortet werden, helfen, den Stoff zu vertiefen. Diesem Zweck dienen auch zahlreiche Links auf Erklärvideos.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung

Dieses einführende Kapitel beleuchtet den historischen Ursprung des Begriffs Irrfahrt und zitiert ein bahnbrechendes Resultat von George Pólya, wonach eine rein zufällige Irrfahrt auf dem ebenen ganzzahligen Gitter mit Wahrscheinlichkeit eins wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt, in höheren Dimensionen jedoch nicht. Außerdem werden grundlegende Notationen eingeführt.

Norbert Henze

2. Die einfache symmetrische Irrfahrt auf $\mathbb{Z}$ – gedächtnisloses Hüpfen auf den ganzen Zahlen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist der einfachen symmetrischen Irrfahrt auf den ganzen Zahlen gewidmet. Eine solche Irrfahrt kann als Weg in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Für Irrfahrten gegebener Länge betrachten wir den Zeitpunkt der letzten Nullstelle sowie die Anzahl der Nullstellen, Verweilzeiten oberhalb der x-Achse, das Maximum und das Minimum, die Anzahl und die Lage der Maximalstellen, Vorzeichenwechsel und das Betragsmaximum mit einer Anwendung auf einen Symmetrietest. Bei wachsender Länge ergeben sich viele überraschende Grenzwertsätze wie etwa das Arcus-Sinus-Gesetz für den Zeitpunkt der letzten Nullstelle und die Verweilzeit. Weitere Themen sind Erstwiederkehrzeit und Rekurrenz, Leiterzeitpunkte und Leiterepochen, Schnittpunkte von Irrfahrten sowie Dualität. Das Kapitel schließt mit einem Ausblick auf den Brown-Wiener-Prozess.

Norbert Henze

3. Brückenwege – Ausgleich nach $2n$ Zeitschritten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geht es um verschiedene Fragen im Zusammenhang mit Brückenwegen, also Irrfahrten auf den ganzen Zahlen, die nach einer geraden Anzahl von Schritten zum Nullpunkt zurückkehren. Solche Brückenwege treten unter anderem beim Zwei-Stichproben-Problem der Nichtparametrischen Statistik auf. Themenbereiche sind die Anzahl der Nullstellen, Verweilzeiten, Erstwiederkehrzeiten, das Maximum und das Minimum, Vorzeichenwechsel, das Betragsmaximum und der Kolmogorov-Smirnov-Test. Auch in diesem Kapitel werden verschiedene Grenzwertsätze hergeleitet. Hierbei treten die Weibull-Verteilung, die stetige Gleichverteilung und die Kolmogorov-Verteilung auf. Das Kapitel schließt mit einem Ausblick auf die Brownsche Brücke, die eng mit dem Brown-Wiener-Prozess verknüpft ist.

Norbert Henze

4. Asymmetrische Irrfahrten und Verwandtes

Zusammenfassung

Dieses Kapitel betrachtet asymmetrische Irrfahrten auf den ganzen Zahlen. Zunächst geht es um Fragen von Rekurrenz und Transienz sowie die Verteilung von Leiterzeitpunkten, wobei sich erzeugende Funktionen als mächtiges Werkzeug herausstellen. Danach geht es um Erstwiederkehrzeiten und die im Fall einer asymmetrischen Irrfahrt geometrisch verteilte Anzahl der Nullstellen. Die nächsten Themen sind Irrfahrten mit absorbierenden Rändern mit einer Anwendung auf das Spieler-Ruin-Problem sowie längste Auf- und Abwärtsruns. Das Kapitel schließt mit dem Galton-Watson-Prozess, der als einfachstes Modell für eine stochastische Populationsdynamik fungiert. Eine wichtige Frage ist hierbei, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein solcher Prozess ausstirbt

Norbert Henze

5. Irrfahrten auf dem ganzzahligen Gitter $\mathbb{Z}^d$

Zusammenfassung

Dieses Kapitel betrachtet die Irrfahrt auf dem ganzzahligen Gitter in höheren Dimensionen. Ein zentrales Resultat ist der Satz von Pólya, nach dem eine symmetrische Irrfahrt in der Ebene mit Wahrscheinlichkeit eins wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt, diese sogenannte Rekurrenzeigenschaft aber im drei- und höherdimensionalen Fall verloren geht. Weiteres Thema ist die Anzahl der von einer Irrfahrt gegebener Länge besuchten Zustände. Hier zeigt sich, dass der relative Anteil der verschiedenen besuchten Zustände stochastisch gegen die Wahrscheinlichkeit konvergiert, dass die Irrfahrt nicht zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das Kapitel schließt mit dem diskreten Dirichlet-Problem.

Norbert Henze

6. Ausblicke

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden verschiedene weiterführende Aspekte angeführt. Der erste betrifft selbstmeidende Irrfahrten, die ursprünglich als Modelle für unverzweigte Polymere vorgeschlagen wurden. Solche Irrfahrten sind dadurch gekennzeichnet, dass sie jeden Punkt nur einmal besuchen dürfen. Ist die Position einer Irrfahrt nach n Schritten die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren, so kann die Verteilung der einzelnen Summanden im Prinzip beliebig sein. Diesbezüglich werden verschiedene Literaturhinweise gegeben. Ein weiterer Ausblick betrifft Irrfahrten auf den Ecken eines Graphen. Bei endlichen Graphen interessiert hier etwa die sog. Überdeckungszeit, also der Erwartungswert der Anzahl der Schritte, bis von einer Ecke ausgehend jede Ecke besucht wurde. Das Kapitel schließt mit einem Zusammenhang zwischen Irrfahrten und elektrischen Netzwerken.

Norbert Henze

7. Hilfsmittel aus Analysis, Kombinatorik und Stochastik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel sind verschiedene Begriffe und Sachverhalte aus der Analysis, der Kombinatorik und der Stochastik zusammengestellt, die bei Bedarf nachgeschlagen werden können. Hierzu gehören unter anderem das Kolmogorovsche Axiomensystem, wichtige Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen wie Stetigkeit von oben und unten sowie stochastische Unabhängigkeit. Weitere Punkte sind die Verteilungskonvergenz von Zufallsvariablen, der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy, spezielle Darstellungen des Erwartungswertes und der Varianz nichtnegativer ganzzahliger Zufallsvariablen, die Wallis-Produktdarstellung für die Kreiszahl π, die Stirling-Formel, erzeugende Funktionen, Identitäten für Binomialkoeffizienten, die Binomialreihe, Legendre-Polynome und das Lemma von Borel-Cantelli.

Norbert Henze

Backmatter

Titel: Irrfahrten – Faszination der Random Walks
verfasst von: Norbert Henze
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-45609-2
Print ISBN: 978-3-658-45608-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-45609-2