7. Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungen

Das Kapitel behandelt iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen, die in vielen Bereichen der angewandten Mathematik von zentraler Bedeutung sind. Es wird gezeigt, dass viele Probleme auf die Lösung nichtlinearer Gleichungen führen, die in der Regel nicht in geschlossener Form lösbar sind. Stattdessen werden numerische Methoden verwendet, um Lösungen als Grenzwerte von Iterationsfolgen zu berechnen. Ein zentrales Thema ist der Banach’sche Fixpunktsatz, der hinreichende Bedingungen für die Konvergenz von Iterationsfolgen liefert. Der Text behandelt verschiedene iterative Verfahren, darunter das Newton-Verfahren, das Sekantenverfahren und das Bisektionsverfahren, sowie deren Anwendungen und Konvergenzeigenschaften. Besonders hervorzuheben ist die detaillierte Darstellung der Fixpunktiteration und die Anwendung des Newton-Verfahrens auf nichtlineare Gleichungssysteme. Zudem wird die Lösung linearer Gleichungssysteme mit iterativen Methoden wie dem Jacobi-Verfahren und dem Gauß-Seidel-Verfahren behandelt. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion über die Vor- und Nachteile iterativer Lösungsverfahren im Vergleich zu direkten Methoden und bietet eine umfassende Einführung in die numerische Lösung von Gleichungssystemen.