Den Raum in Zellen mit optimalen geometrischen Eigenschaften einzuteilen, ist eine zentrale Herausforderung in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik. Forscher am KIT haben zusammen mit Kollegen aus mehreren Ländern festgestellt, dass bei amorphen, das heißt ungeordneten Systemen eine Optimierung der einzelnen Zellen schrittweise zur stets gleichen Struktur führt – einer versteckten Ordnung in großen Maßstäben.
Wie ungeordnet ein System anfangs auch sein mag – wird jede Zelle einzeln optimiert, bildet sich Schritt für Schritt stets die gleiche Struktur mit einer versteckten Ordnung.
Michael A. Klatt
Von der Suche nach dem optimalen Schaum bis zur Suche nach einer möglichst platzsparenden Art, Kugeln zusammenzupacken – die ideale Tesselierung des dreidimensionalen Raums, das heißt seine lückenlose Unterteilung in Zellen mit speziellen geometrischen Eigenschaften, beschäftigt die Wissenschaft schon lange. Sie ist nicht nur theoretisch interessant, sondern für viele praktische Anwendungen relevant, unter anderem in der Telekommunikation, zur Bildverarbeitung oder für komplexe Granulate. Mit einem speziellen Problem der Tesselierung, nämlich dem Quantisierungsproblem, haben sich nun Forschende am Institut für Stochastik des KIT (Karlsruher Institut für Technologie) genauer befasst. „Ziel ist eine Einteilung des Raums in Zellen, bei der – intuitiv gesagt – alle Punkte in einer Zelle so nahe wie möglich am Zellzentrum liegen“, erklärt Dr. Michael Andreas Klatt, früherer Mitarbeiter des Instituts, der jetzt an der Princeton University in den USA tätig ist.
Die Wissenschaftler untersuchten die schrittweise lokale Optimierung verschiedenster Punktmuster und stellten fest, dass alle vollständig amorphen, das heißt ungeordneten Zustände nicht nur vollständig amorph bleiben, sondern dass die anfangs vielfältigen Prozesse zu einem statistisch ununterscheidbaren universellen Ensemble konvergieren. Dabei gleicht die schrittweise lokale Optimierung auch extreme globale Schwankungen der Dichte schnell aus. „So entsteht eine Struktur, die fast hyperuniform ist – sie zeigt keine offensichtliche Ordnung, wohl aber eine versteckte Ordnung in großen Maßstäben“, berichtet Klatt.