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Über dieses Buch

Diese mathematisch orientierte Einführung in typische Klimamodelle stellt anhand konkreter Modelle den Prozess von der Modellbildung über die mathematische Analyse bis zur konkreten Umsetzung (Simulation) am Rechner in den Mittelpunkt. Dabei werden auch die zur Simulation wichtigen Bereiche der Mathematik und der Informatik wie Entwicklung und Konvergenz von Algorithmen und Umgang mit hochdimensionalen Problemen behandelt. Viel Wert wird auf eine verständliche Erklärung der Grundprinzipien der mathematischen Modellbildung gelegt, sowie im Weiteren auf Diskretisierung und Algorithmenentwicklung und deren Umsetzung auf dem Computer.

Der verständliche Zugang zur mathematischen Klimamodellierung ermöglicht es Anwendern aus den Geowissenschaften wie auch Mathematikern, eigene Software zu entwickeln bzw. vorhandene Software gezielter zu verwenden und gegebenenfalls anzupassen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Klimasystem und Klimamodelle

Hier werden die Begriffe Klima, Modelle und Simulationen und der grundlegende Aufbau des Klimasystems der Erde mit den wichtigsten Prozessen und Interaktionen diskutiert. Die antreibenden Kräfte des Klimas und damit auch die Ursachen für Klimaänderungen werden zusammengefasst. Es werden die verschiedenen Klassen von Klimamodellen, auch in ihrer historischen Entwicklung, kurz vorgestellt. Damit werden die Grundlagen gelegt, um sich später genauer mit den Modellen beschäftigen zu können. Es geht hier zunächst um einen Überblick, um die einzelnen später behandelten Modelle und auch verwendete Begriffe einordnen zu können. Der Idee eines Lehrbuchs folgend, werden diese Inhalte – wenn passend – als Übungen in Frageform thematisiert. Beispielhafte Antworten werden danach zusammengestellt. Ausführlichere Darstellungen zum Thema finden sich z. B. in [1–4].

Thomas Slawig

2. Ein nulldimensionales Energiebilanzmodell

Wir formulieren hier das denkbar einfachste Klimamodell, das die Erde als Punkt im Weltraum modelliert. Das Modell basiert auf der Strahlungsbilanz eines „nulldimensionalen“ Körpers. Es wird z. B. in [2, 3, 5] behandelt. Es ist eher von akademischen Interesse, zeigt aber bereits die Vorgehensweise bei der Aufstellung von Bilanzgleichungen, die Bedeutung von Modellparametern und Methoden zu ihrer Bestimmung aus Messdaten. Wir betrachten zuerst den stationären Gleichgewichtszustand und anschließend ein zeitabhängiges Modell, mit dem man Temperaturänderungen simulieren kann. Dieses wird sowohl für endliche, diskrete Zeitschritte als auch in einer kontinuierlichen Zeit hergeleitet. Es liefert das erste Beispiel für eine mathematische Modellklasse, nämlich die der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Thomas Slawig

3. Anfangswertprobleme und analytische Lösungsverfahren

Gewöhnliche Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme für diese bilden die einfachste, aber auch grundlegende Klasse von mathematischen Formulierungen von Klimamodellen. Dieses Kapitel enthält grundlegende Definitionen, die die Basis für die weiteren Modelle und analytischen und numerischen Methoden bilden. Es gibt weiterhin einen Überblick über analytische Lösungsmethoden, die – wie wir am nulldimensionalen Energiebilanzmodell erkennen können – aber enge Grenzen haben.

Thomas Slawig

4. Umformulierung und Vereinfachung von Modellen

Thema dieses Kapitels sind einige Methoden, die oft bei Klimamodellen (und auch anderen Modellen) angewendet werden, um diese in eine Form zu bringen, die sich besser für die Beschreibung der Prozesse selbst, aber auch für ihre Berechnung eignet. Dazu gehören der Übergang zu dimensionslosen Größen, die Aufspaltung in einen stationären und einen instationären oder Störungsanteil und eine geeignete Skalierung der Gleichungen. Eine weitere Methode, die Linearisierung, wird vor allem dann angewendet, wenn das ursprüngliche Modell nicht direkt analytisch lösbar ist, wie es beim instationären Energiebilanzmodell der Fall war. Die hier vorgestellten Methoden werden in der einen oder anderen Form in den meisten Klimamodellen angewendet.

Thomas Slawig

5. Numerische Lösung eines Anfangswertproblems

Wenn analytische Methoden nicht weiterführen, muss ein Anfangswertproblem numerisch gelöst werden, d. h. die Lösung wird näherungsweise mit einem Algorithmus berechnet. In diesem Kapitel wird das Euler-Verfahren als einfachste Möglichkeit dazu vorgestellt. Darauf aufbauend werden die allgemeinen Konzepte für eine ganze Klasse von Lösungsalgorithmen, die expliziten Einschrittverfahren, zusammengestellt. Dies umfasst Konvergenz und die Abhängigkeit von Daten- und Rundungsfehlern.

Thomas Slawig

6. Ein Boxmodell des Nordatlantikstroms

In diesem Kapitel wird ein von Stefan Rahmstorf entwickeltes Boxmodell der nordatlantischen thermohalinen, d. h. durch Temperatur- und Salzgehaltunterschiede induzierten Strömung vorgestellt. Es gibt Einblicke in die Modellierung mit Hilfe von Bilanzgleichungen und die Formulierung eines entsprechenden gewöhnlichen Differentialgleichungssystems. Mit diesem Modell können Szenarien der globalen Erwärmung gerechnet werden, die durch die Variation einer Inputgröße realisiert werden. Das Rahmstorf-Boxmodell wird im nächsten Kapitel als ein Beispiel für die Berechnung stationärer Zustände verwendet. Wir definieren in diesem Kapitel am Beispiel des Modells auch noch einige spezifische Begriffe zur Unterscheidung verschiedener in Klimamodellen auftretender Größen.

Thomas Slawig

7. Stationäre Zustände

Stationäre Zustände eines Modells sind solche, bei denen keine zeitliche Änderung der Modellgrößen stattfindet. Im Klimasystem ist ein solches Verhalten eigentlich nicht vorhanden. Werden jedoch große Zeitskalen betrachtet und zum Beispiel tages- und jahreszeitliche Schwankungen gemittelt bzw. nicht erfasst, dann können auch Klimamodelle stationäre Zustände haben. Diese werden oft – mit gemittelten Daten – zur Kalibrierung des Modells verwendet. Dabei werden dann z. B. Parameter so angepasst, dass das Modell ebenfalls gemittelte Messwerte trifft. Dies ist die Motivation, in diesem Kapitel verschiedene Verfahren zur Berechnung stationärer Punkte vorzustellen und sie, vor allem auf das Rahmstorf-Boxmodell, anzuwenden. Mathematisch ergibt sich die Möglichkeit, Algorithmen wie Fixpunktiteration und Newton-Verfahren anzuwenden.

Thomas Slawig

8. Ein Boxmodell des globalen Kohlenstoffkreislaufs

Hier wird ein weiteres Boxmodell vorgestellt, das den globalen Kohlenstoffkreislauf modelliert. Verglichen mit dem Rahmstorf-Modell ist es linear und damit wesentlich einfacher. Es gibt die Möglichkeit, Aussagen über die Theorie linearer Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten vorzustellen und anzuwenden.

Thomas Slawig

9. Das Lorenz-Modell

Das Lorenz-Modell ist ein System aus drei nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Vergleich etwa zum Rahmstorf-Boxmodell ist seine Herleitung schwieriger zu verstehen. Das Modell ist älter und unter dem Aspekt der Reduktion des Rechenaufwands entstanden. Es stellt ein einfaches Modell der Konvektionsströmung, d. h. der durch Temperaturunterschiede bewirkten Strömung in der Atmosphäre dar. Das Lorenz-Modell kann als Beginn der Chaostheorie angesehen werden. In der Klimaforschung ist das Modell nicht mehr relevant. Für unterschiedliche Werte der drei im Modell vorhandenen Parameter ergeben sich unterschiedliche Lösungstypen, wie etwa periodische Lösungen oder den bekannten Lorenz-Attraktor. Die Sensitivität der Lösung bezüglich von Anfangswerten und Parametern ist hoch, so dass an diesem Modell gut Verfahren höherer Konvergenzordnung getestet werden können. Für weitere Details s. [29–31].

Thomas Slawig

10. Stabilität exakter Lösungen von Differentialgleichungen

Unter Stabilität einer Lösung und speziell eines stationären Punktes wird die Eigenschaft verstanden, bei kleinen Störungen ebenfalls nur kleine Änderungen in der Lösung zu zeigen bzw. sogar wieder in den stationären Punkt zurückzukehren. Befindet sich ein System im Gleichgewicht, so ist von elementarer Bedeutung, ob Störungen sich nachhaltig auswirken oder nach einiger Zeit abklingen und verschwinden. Die Anwendung und Bedeutung bei Klimamodellen ist offensichtlich. Daher ist wichtig, ob und wie das Stabilitätsverhalten von Gleichgewichtslösungen analytisch untersucht werden kann. Es geht hier um die exakte Lösung der Modellgleichungen, noch nicht um ihre numerische Approximation in einer Simulation. Bei einer Simulation können wiederum Instabilitäten des angewendeten numerischen Verfahrens auftreten. Es ist wichtig, beide Phänomene auseinderhalten zu können. Die Stabilitätsuntersuchung der exakten Lösung ist jedoch – vor allem bei nichtlinearen Systemen – nicht einfach. In diesem Kapitel werden die Stabilitätsbegriffe definiert sowie analytische Aussagen angegeben.

Thomas Slawig

11. Verfahren höherer Ordnung für Anfangswertprobleme

In diesem Kapitel werden Möglichkeiten zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen vorgestellt, die über die in Kap. 5 vorgestellten in Bezug auf Approximationsgüte und Effizienz hinausgehen. Dies sind im wesentlichen explizite Runge-Kutta-Verfahren. Weiterhin beschrieben wir prinzipiell die Methode der Schrittweitensteuerung zur adaptiven Wahl der Zeitschrittweite bei solchen Verfahren. In globalen Klimamodellen werden diese Verfahren in der Praxis kaum eingesetzt, jedoch ist z. B. bei der Berechnung von transienten Lösungen des Lorenz-Modells erkennbar, wie sie sinnvoll benutzt werden können.

Thomas Slawig

12. Transportmodelle

Transportmodelle und -gleichungen oder Konvektions-Diffusionsgleichungen werden in diesem Buch benutzt, um wichtige Konzepte der Modellierung, Diskretisierung und Lösung räumlich und zeitlich verteilter Klimamodelle zu verdeutlichen. Die Modellierung basiert auf dem grundlegenden Prinzip einer Erhaltungsgleichung. Fast alle wesentlichen Techniken und Problematiken können an dieser Modellklasse erklärt werden. Transportmodelle bieten im Vergleich zu beispielsweise strömungsmechanischen Gleichungen einen vergleichsweise einfachen Einstieg. Auf den hier und in den folgenden Kapiteln (die sich als Beispiel auf die Transportgleichungen beziehen) präsentierten Inhalten kann später aufgebaut werden.

Thomas Slawig

13. Diskretisierung im Ort

Am Beispiel der Transportgleichungen werden in diesem Kapitel Methoden zur Ortsdiskretisierung vorgestellt. Zunächst wird die Methode der Finiten Volumen behandelt, die sich aus der integralen Form der Gleichungen ergibt. Wir beginnen dabei mit der räumlich eindimensionalen Variante, da daran das Prinzip am einfachsten zu verstehen ist. Die gewählte Darstellung kann auch unabhängig von der Modellierung im letzten Kapitel betrachtet werden. Es handelt sich praktisch um eine Modellierung direkt in diskreter Form, was bei Klimamodellen in vielen Fällen anzutreffen ist. Die Problematik der numerischen Instabilität bei konvektions- oder advektionsdominanten Problemen wird diskutiert, und darauf angepasste Diskretisierungsschemata werden vorgestellt. Anschließend beschreiben wir die Methode der Finiten Differenzen, die auf der differenziellen Form der Modellgleichungen basiert, ebenfalls in eindimensionaler Form. Wir gehen auf die Besonderheiten des mehrdimensionalen Falles ein, ohne diesen im Detail auszuarbeiten. Die beschriebenen Ortsdiskretisierungstechniken können auch für andere Gleichungen benutzt werden.

Thomas Slawig

14. Explizite und implizite Zeitdiskretisierung

In diesem Kapitel beschreiben wir Möglichkeiten der Zeitdiskretisierung von Bilanzgleichungen und partiellen Differentialgleichungen, deren Ortsdikretisierung schon – wie im letzten Kapitel gezeigt – durchgeführt wurde. Wir beziehen uns auf die bereits in früheren Kapiteln vorgestellten Lösungsmethdoen für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es zeigt sich, dass bei bestimmten Problemen eine zweite Quell der numerischen Instabilität auftritt, die es zu beachten gilt. Dabei konzentrieren wir uns die Grundlagen für einige der in Klimamodellen verwendeten Verfahren. Dort werden auch ncoh andere Verfahren verwendet, die in dieser Einführung nicht behandelt werden. Als Beispiel dient die Transportgleichung. Die hier vorgestellten Verfahren können auch für andere Gleichungen verwendet werden.

Thomas Slawig

15. Ökosystemmodelle

Marine Ökosystem- und biogeochemische Modelle sind ein Beispiel für nichtlineare Reaktions- und Kopplungsterme in Transportgleichungen. Sie werden hier als Beispiel für eine Modellierung und Berechnung der Biosphäre verwendet. Die Forschung in diesem Bereich ist weniger fortgeschritten als z. B. im Bereich der Fluidmechanik, mit der die Ozean- oder Atmosphärenströmungen modelliert und simuliert werden. Dieses Kapitel gibt nur einen Einblick. Räuber-Beute-Modelle und ihre Verwendung als Basis für Ökosystemmodelle werden dargestellt. Viele der bisher vorgestellten Methoden aus Theorie und Numerik der gewöhnlichen Differentialgleichungen können hier noch einmal angewendet werden. Am Ende des Kapitels beschreiben wir, wie eine Kopplung an den Ozeantransport aussehen kann.

Thomas Slawig

16. Atmosphären- und Ozeanströmung

Atmosphären- und Ozeanmodelle basieren auf den Gesetzen der Strömungsmechanik (von Luft und Wasser). Diese Grundgleichungen der Fluidmechanik leiten sich aus Masse- und Impulsbilanz her. Diese Gleichungen werden benutzt, um den – im Unterschied zu den Transportgleichungen – jetzt unbekannten Geschwindigkeitsvektor zu bestimmen. Als zusätzliche Unbekannte tritt in der Impulsbilanz der Druck auf. In dieser Form sind die Gleichungen ähnlich zu denen, die auch für eher technisch oder ingenieurwissenschaftlich motivierte Anwendungen benutzt werden. In den Klimawissenschaften kommen meist noch Gleichungen für Temperatur und bei Ozeanströmungen Salzgehalt hinzu. Dies sind Transportgleichungen, die wir schon kennengelernt haben. Dieses Kapitel gibt nur einen Einblick in diese umfangreiche Thematik.

Thomas Slawig

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