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2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Körpererweiterungen und algebraische Elemente

verfasst von : Marco Hien

Erschienen in: Algebra

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Beginnt man mit einem Grundkörper K und einer Polynomgleichung mit Koeffizienten in K, kommt man schnell zu der Situation, einen größeren Körper \(L \supset K \) hinzuzuziehen, der die Lösungen enthält. Dies führt zum Begriff der Körpererweiterung L|K. Wir untersuchen erste Erkenntnisse darüber, die wir aus der Linearen Algebra erhalten.

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Fußnoten
1
falls das in der Linearen Algebra nicht gesagt wurde: Ein unendliches Tupel \((v_I)_{i \in I} \) (mit Indexmenge I) in einem K-Vektorraum V heißt Erzeugendensystem, wenn es zu jedem \(v \in V \) endlich viele Indizes \(i_1, \ldots , i_r \in I \) gibt und dazu Elemente \(a_{i_\nu } \in K \), so dass \(v=a_{i_1} v_{i_1} + \ldots + a_{i_r} v_{i_r} \) gilt.
 
2
d. h. von der Form \(f(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_0\) mit führendem Koeffizienten 1. Beachte auch: Hat man ein beliebiges Polynom q(X) vom Grad n mit \(q(\alpha )=0 \), kann man durch den führenden Koeffizienten dividieren und erhält ein normiertes Polynom p(X) vom gleichen Grad n mit \(p(\alpha )=0 \).
 
3
Ich werde diese Diagramme öfter benutzen. Dabei sind sie immer so zu lesen, dass von unten nach oben gelesen die Verbindungsstrecken zwischen zwei Körpern eine Inklusion („unten“ \(\subset \) „oben“) bezeichnen.
 
4
Das werden wir später mit Satz 9.​12 leicht folgern können.
 
Metadaten
Titel
Körpererweiterungen und algebraische Elemente
verfasst von
Marco Hien
Copyright-Jahr
2021
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Algebra

Print ISBN: 978-3-662-63777-7

Electronic ISBN: 978-3-662-63778-4

Copyright-Jahr: 2021

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63778-4_2