Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger

In diesem Kapitel werden die gängigsten numerischen Verfahren kurz vorgestellt und gegenübergestellt. Diese sind die Finite-Differenzen-Methode, die Finite-Elemente-Methode, das Stabgitterverfahren, die Elementfreie-Galerkin-Methode, die Rand-Elemente-Methode, die Finite-Volumen-Methode, die Diskrete-Elemente-Methode und die Mehrkörpersimulation. Im Weiteren wird die geschichtliche Entwicklung der ersten numerischen Verfahren aufgeführt. Die numerische Mathematik fand ihren Ursprung im Finite-Differenzen-Verfahren. Das zweitälteste Verfahren ist die Stabgittermethode und die drittälteste die Finite-Elemente-Methode.

Das Ziel der Anwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM) ist die Berechnung einer numerischen Lösung für ein Feldproblem, wann immer eine analytische Lösung schwierig oder unmöglich ist. Um dies zu ermöglichen, muss bei der FEM das physikalische Feldproblem so umformuliert werden, dass es in ein lineares Gleichungssystem überführt werden kann, da dieses im Gegensatz zu einer partiellen Differentialgleichung mit Computern einfach lösbar ist.

In diesem Kapitel soll der erste Schritt dieses Vorgehens gezeigt werden. Hierzu wird ausgenutzt, dass viele physikalische Problemstellungen nicht nur über ihre Differentialgleichung beschrieben werden können, sondern sich zugleich als Extremwertaufgabe formulieren lassen. Beispiele hierfür sind das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie in der Elastostatik oder Das Prinzip der stationären Wirkung der Dynamik. Diese Extremwertprinzipien, die nachfolgend vorgestellt werden, können mathematisch mit der Variationsrechnung, die im darauffolgenden Kapitel eingeführt wird, gelöst werden.

Die physikalischen Grundlagen, die im vorigen Kapitel eingeführt wurden, zeigen im Wesentlichen zwei Punkte auf: Erstens, dass viele physikalische Feldprobleme über ein Potential beschrieben werden können, und zweitens, dass die Minimierung dieses Potentials gerade die Lösung des Feldproblems liefert. Das Ziel dieses Kapitels ist es, zum einen die Lösung dieser Minimierungsaufgabe herzuleiten und zum anderen, diese anschließend auf Probleme zu erweitern, für die kein Potential existiert.

Zu diesem Zweck wird zuerst die Variationsrechnung, ein mathematisches Verfahren zur Extremstellensuche bei Funktionalen eingeführt. Dieses Verfahren kann auf sämtliche Potentialprobleme angewandt werden, da die Potentiale zugleich auch Funktionale des unbekannten Feldverlaufs sind. Darauf folgend wird die Lösung dieser Rechnung über die Galerkin-Methode für Problemstellungen verallgemeinert, für die kein Potential existiert, sondern lediglich eine Differentialgleichung. Zudem wird gezeigt, dass beide Methoden äquivalent sind.

Dieses Kapitel befasst sich mit einem der Kernpunkte der Methode der Finiten Elemente, den Ansatzfunktionen. Ansatzfunktionen sind einfache, leicht zu berechnende Funktionen, mit denen die tatsächliche Lösung eines Feldproblems, die analytischen Methoden oft nicht zugänglich ist, angenähert wird. Diese Annäherung ist je nach Wahl der Ansatzfunktionen unterschiedlich gut, weswegen in diesem Kapitel die Herleitung und die grundlegenden Eigenschaften einiger Typen von Ansatzfunktionen besprochen werden. Sowohl eindimensionale, also auch mehrdimensionale Ansatzfunktionen für unterschiedliche Elementegeometrien (z. B. Dreiecke und Vierecke) werden hierbei eingeführt.

Als Finite-Elemente-Formulierung wird die mathematische Formulierung verstanden, die durch das Einsetzen der Ansatzfunktionen in die schwache Form gewonnen wird. Diese Form hat den Vorteil, dass sie nach der Auswertung der Integrale in der schwachen Form auf eine Vektor-Matrix-Formulierung führt, die mithilfe von Computern effizient gelöst werden kann. Das Vorgehen für das Einsetzen der Ansatzfunktionen in die schwache Form wird in diesem Kapitel systematisch eingeführt, so dass für eine beliebige schwache Form das Gleichungssystem zur Bestimmung der Freiwerte der Ansatzfunktionen berechnet werden kann. Dies wird sowohl für skalarwertige als auch vektorwertige Feldfunktionen vorgeführt. Außerdem wird angesprochen, wie Randbedingungen bei den Finiten Elementen berücksichtigt werden.

Ansatzfunktionen können sowohl im physikalischen Raum des vorliegenden Problems, als auch im Einheitsraum aufgestellt werden. Für letzteres Vorgehen, bei dem die Ansatzfunktionen unabhängig von der tatsächlichen Elementgeometrie sind, müssen die Ansätze jedoch bei der Anwendung in den physikalischen Raum transformiert werden. Hierzu wird bei den Finiten Elementen das Isoparametrische Konzept verwendet, bei dem diese Geometrietransformation mit denselben Ansatzfunktionen durchgeführt wird, die auch für die Approximation der Feldfunktion verwendet werden. Dieses Kapitel führt diese Transformation systematisch ein, und erklärt die Eigenschaften der Elemente unter der Transformation.

Für die computergestützte FE-Berechnung werden die Integralterme der schwachen Form nach Einsetzen der Ansatzfunktionen nicht analytisch, sondern numerisch Integriert. Die hierbei verwendete Gauss-Integration wird im vorliegenden Kapitel erläutert, und die Anwendung auf ein- und mehrdimensionale Gebiete vorgestellt.

Bei der Lösung von Finite-Elemente-Gleichungen werden die Feldgrößen des physikalischen Systems, die auch als primäre Feldgrößen bezeichnet werden, bestimmt. Diese sind in der Mechanik in der Regel Verschiebungen, in der Thermodynamik Temperaturen, etc. Oftmals sind dies jedoch nicht die Größen, wegen derer die Finite-Elemente-Simulation durchgeführt wird. So sind in der Mechanik oft die Spannungen die gesuchten Größen, wenn zum Beispiel ein Festigkeitsnachweis durchgeführt werden soll. In der Thermodynamik können zum Beispiel bei der Berechnung einer Isolation die Wärmeströme zur Berechnung der Verlustleistung die gesuchten Größen sein. Diese sogenannten sekundären Feldgrößen werden nach der Bestimmung der primären Feldfunktion in der sogenannten Nachlaufrechnung (engl. postprocessing) aus den Gradienten der Feldfunktion an den Gausspunkten berechnet. In diesem Kapitel wird gezeigt, warum die Gausspunkte die optimalen Punkte zur Berechnung der Nachlaufgrößen sind. Ebenso wird gezeigt, wie die Spannungen von diesen Gausspunkten auf die Knotenpunkte extrapoliert werden.

Die Approximationseigenschaften von Finiten Elementen hängen sowohl von den Ansatzfunktionen, als auch von der Elementgeometrie ab. In diesem Kapitel werden die Grundlagen für eine Untersuchung dieser Eigenschaften gelegt. Dies beinhaltet sowohl die Betrachtung der Eigenwerte der Elementmatrizen, als auch analytische Untersuchung zum Polynomgrad, den die Elemente darstellen können. Außerdem wird auf Locking, Hourglassing und den Patch-Test eingegangen.

In diesem Kapitel werden die Eigenschaften, die im Verlaufe des Buches theoretisch vorgestellt wurden, anhand einfacher praktischer Beispiele demonstriert. Hierbei wird insbesondere auf die Unterschiede in Berechnungsergebnissen eingegangen, die aus der Verwendung unterschiedlicher Ansatzfunktionen resultieren. Zudem wird auf die wichtigsten Faustregel eingegangen, die sich aus der Theorie für die Anwendung der Finiten Elemente ergeben.