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Über dieses Buch

Dieses studentenerprobte Lehrbuch stellt die Finite-Elemente-Methode (FEM) als ein allgemeines numerisches Approximationsverfahren für partielle Differentialgleichungen mit einem Fokus auf die lineare Elastostatik vor. Neben dem systematischen Vorgehen zur Erstellung von Finite Elementen und dem daraus resultierenden Gleichungssystem aus den physikalischen Fragestellungen mithilfe von Ansatzfunktionen wird die Konsequenz dieser Diskretisierung aufgezeigt. Diese umfasst die Phänomene des „Locking“ und des „Hourglassing“. Zur praktischen Berechnung einer approximativen Lösung werden Verfahren vorgestellt, die für die computergestützte Berechnung benötigt werden, wie z. B. das isoparametrische Konzept und die numerische Integration. Abschließend wird die Berechnung abgeleiteter Größen erläutert und ihre Signifikanz für die Bewertung der Berechnungsergebnisse dargelegt. Etliche begleitende und weiterführende Beispielaufgaben mit ausführlichen Lösungen aus verschiedenen Blickwinkeln tragen zum Verständnis der Theorie und den damit verbundenen Problemen zur Lösungsfindung bei.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Zusammenfassung
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Hintergründen der Finite-Elemente-Methode, sowie ihrer Einordnung in die Welt der numerischen Verfahren im Ingenieurswesen. Hierbei werden die wichtigsten numerischen Verfahren kurz angerissen, und die Geschichte der Finite-Elemente-Methode beleuchtet.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 2. Physikalische Grundlagen der FEM

Zusammenfassung
Das Ziel der Anwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM) ist die Berechnung einer numerischen Lösung für ein Feldproblem, wann immer eine analytische Lösung schwierig oder unmöglich ist. Um dies zu ermöglichen, muss bei der FEM das physikalische Feldproblem so umformuliert werden, dass es in ein lineares Gleichungssystem überführt werden kann, da dieses im Gegensatz zu einer partiellen Differentialgleichung mit Computern einfach lösbar ist.
In diesem Kapitel wird gezeigt, dass viele physikalische Feldprobleme nicht nur als Differentialgleichung, sondern auch als Potential formuliert werden können, dessen Minimum die Lösung des Problems bildet.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 3. Mathematische Grundlagen der FEM

Zusammenfassung
Aufbauend auf der Tatsache, dass viele physikalische Feldprobleme als Minimierungsproblem formuliert werden können, wird in diesem Kapitel die Variationsrechnung als Mittel zur Minimierung eingeführt. Im Weiteren wird der Begriff der starken und schwachen Form vom Gleichgewicht eingeführt, der Zusammenhang zwischen dem Potential, dem virtuellen Arbeitssatz, dem Galerkin-Verfahren und dem zum Verfahren von Ritz hergestellt.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 4. Ansatzfunktionen

Zusammenfassung
Der in der Praxis wichtigste Aspekt – die Frage nach der numerischen, näherungsweisen Lösung der schwachen Form – wurde hierbei jedoch bisher noch nicht behandelt. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Ansatzfunktionen, die zur Approximation des Feldverlaufs dienen, bezüglich dessen das Minimum gebildet wird.
Dabei wird gezeigt, wie unterschiedliche Ansätze für 1D-Elemente gebildet werden. Diese Ansätze lassen sich für rechteckige 2D-Elemente und für quaderförmige 3D-Elemente nutzen. Außerdem wird unter anderem die Bildung von Ansätzen für dreieckige oder tetraederförmige Elemente gezeigt, sowie auf die Bildung von Ansätzen für Übergangselemente und inkompatible Elemente eingegangen.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 5. Finite-Elemente-Formulierung

Zusammenfassung
Als Finite-Elemente-Formulierung wird die mathematische Formulierung verstanden, die durch das Einsetzen der Ansatzfunktionen in die schwache Form gewonnen wird. Diese Form hat den Vorteil, dass sie nach der Auswertung der Integrale der schwachen Form auf eine Vektor-Matrix-Formulierung führt, die mithilfe von Computern vergleichsweise einfach gelöst werden kann. Das Vorgehen für das Einsetzen der Ansatzfunktionen in die schwache Form wird in diesem Kapitel systematisch eingeführt, so dass für eine beliebige schwache Form das Gleichungssystem zur Bestimmung der Freiwerte der Ansatzfunktionen berechnet werden kann. Zudem wird die Assemblierung mehrerer Elemente und auf Randbedingungen eingegangen.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 6. Isoparametrisches Konzept

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird das isoparamentrische Konzept vorgestellt - ein Konzept, mit dessen Hilfe sich Ansatzfunktionen basierend auf LAGRANGE, die bezüglich eines unverzerrten Einheitsraums aufgestellt wurden, in beliebig verzerrten Elementen nutzen lassen, indem die Ansatzfunktionen zugleich zur Geometrietransformation verwendet werden. Hierbei wird auf die Eigenschaften der Transformation und auf spezielle Elemente eingegangen, die Grenzfälle dieser Transformation ausnutzen.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 7. Numerische Integration

Zusammenfassung
Durch Anwendung des isoparametrischen Konzepts ist der Term, über den zur Bildung des Finite-Elemente-Gleichungssystems integriert werden muss, oft ein gebrochen-rationales Polynom. Eine Integration solcher Funktionen analytisch durchzuführen, bedeutet einen hohen Rechen- und Programmieraufwand, weswegen stattdessen in der Praxis numerische Integrationsverfahren angewendet werden. Dabei wird bei allen numerischen Integrationsverfahren angenommen, dass ein beliebiges gegebenes Integral durch eine Summe von gewichteten Funktionswerten approximiert werden kann. Das Vorgehen zur Bestimmung der Integrationspunkte und -gewichte, sowie die Anwendung dieser ist Inhalt dieses Kapitels.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 8. Nachlaufrechnung

Zusammenfassung
Bei der Lösung von Finite-Elemente-Gleichungen werden die Feldgrößen des physikalischen Problems, die auch als primäre Feldgrößen bezeichnet werden, bestimmt. Diese sind in der Mechanik in der Regel Verschiebungen, in der Thermodynamik Temperaturen, etc. Oftmals sind dies jedoch nicht die Größen, wegen derer die Finite-Elemente-Simulation durchgeführt wird. So sind in der Mechanik oft die Spannungen die gesuchten Größen, wenn zum Beispiel ein Festigkeitsnachweis durchgeführt werden soll. In der Thermodynamik können zum Beispiel bei einer Berechnung einer Isolation die Wärmeströme zur Berechnung der Verlustleistung die gesuchten Größen sein. Diese sekundären Feldgrößen werden nach der Bestimmung der primären Feldfunktion in der sogenannten Nachlaufrechnung (engl. postprocessing) aus den Gradienten der Feldfunktion berechnet. Zudem wird in diesem Kapitel gezeigt, warum die Gausspunkte die optimalen Punkte zur Berechnung der Nachlaufgrößen sind, und wie die Spannungen von diesen Gausspunkten auf die Knotenpunkte extrapoliert werden.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 9. Elementanalyse

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden unterschiedliche Methoden vorgestellt, um finite Elemente zu beurteilen, wie die Untersuchung der Eigenmoden, der Patch-Test nach IRONS und das Verfahren zur Bestimmung der Polynomgrads für verzerrte Elemente nach LEE und BATHE. Außerdem werden Über- und Untersteifigkeitsphänomene in Elementen wie das Locking und Hourglassing angesprochen.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 10. Anwendungsbeispiele und praktische Elementeigenschaften

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden diverse Eigenschaften der finiten Elemente, die im Rahmen des Buches besprochen wurden, anhand einfacher Fallbeispiele nachvollzogen. Dies Umfasst die Änderung der Ergebnisse bei h- beziehungsweise p-Verfeinerung, Eigenschaften verzerrter Elemente und inkompatibler Elemente, sowie die hierarchische Verfeinerung eines Balkenelements. Abschließend werden einige der wichtigsten Schlussfolgerungen aus der Theorie für den praktischen Einsatz der finiten Elemente bei Verwendung von LAGRANGE- und Serendipity-Elementen zusammengefasst.
Manfred Hahn, Michael Reck

Kapitel 11. Übungen zu speziellen Randwertproblemen

Zusammenfassung
Dieses Kapitel stellt Übungsbeispiele zu speziellen Randwertproblemen vor und zeigt, wie weitere Feldprobleme und Spezialfälle, die in dem Buch bisher nicht vorgestellt wurden, unter Anwendung der Methode der Finiten Elemente gelöst werden. Die verwendeten Aufgaben und Lösungsansätze sind daher primär unter dem Gesichtspunkt der Einfachheit und des didaktischen Mehrwerts ausgewählt, und ihre Lösungen sind im Allgemeinen nicht für den direkten praktischen Einsatz geeignet, sondern als Hilfe zum Vorgehen bei der praktischen Lösung gleichartiger Aufgaben zu verstehen. Die ersten beiden Beispiele zeigen die Anwendung der FEM bei rotationssymmetrischen und nicht-rotationssymmetrischen Lasten bei Kreisscheiben. Das zweite Beispiel zeigt, wie die St.-VENANT‘sche Differentialgleichung der Torsion mittels verschiedenen Elementtypen gelöst werden kann. Die vorgestellten Ergebnisse unterstreichen die Aussagen der vorherigen Kapitel bezüglich ihrer Ergebnissgüte. Die letzten beiden Aufgaben zeigen den Umgang mit komplexeren Problemstellungen bei Fachwerk- und Balkenstrukturen, wo nicht nur die Knotenpunktfreiwerte, sondern auch Spannungen und Lagerreaktionen berechnet werden.
Manfred Hahn, Michael Reck

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