nach oben

2012 | Buch

Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Kompendium der ANALYSIS - Ein kompletter Bachelor-Kurs von Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen

Band 2: Maß- und Integrationstheorie, Funktionentheorie, Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen

verfasst von: Robert Denk, Reinhard Racke

Verlag: Vieweg+Teubner Verlag

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Einloggen, um Zugang zu erhalten

Über dieses Buch

Das zweibändige Werk umfasst den gesamten Stoff von in der „Analysis“ üblichen Vorlesungen für einen sechssemestrigen Bachelor-Studiengang der Mathematik. Die Bücher sind vorlesungsnah aufgebaut und bilden die Vorlesungen exakt ab. Jeder Band enthält Beispiele und zusätzlich ein Kapitel "Prüfungsfragen", das Studierende auf mündliche und schriftliche Prüfungen vorbereiten soll. Das Werk ist ein Kompendium der Analysis und eignet sich als Lehr- und Nachschlagewerk sowohl für Studierende als auch für Dozenten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Maßtheoretische Grundlagen

Kapitel 1. Maßtheoretische Grundlagen

Zusammenfassung

Worum geht’s? Hier soll der Begriff des Maßes wiederholt und vertieft werden. Maße werden häufig von Inhalten erzeugt, welche auf einem Ring (statt auf einer σ-Algebra) definiert sind. Damit stellt sich die Frage nach der Fortsetzung eines Inhaltes zu einem Maß auf die erzeugte σ-Algebra. Die wichtigste Antwort dazu gibt der Fortsetzungssatz von Carathéeodory, welcher das erzeugte Maß sogar (in Form des äaußeren Maßes) konstruktiv angibt. Die Anwendung auf den elementargeometrischen Inhalt ergibt wiederum das Lebesgue-Maß.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 2. Das allgemeine Lebesgue-Integral: erste Eigenschaften

Zusammenfassung

Worum geht’s? Wir wiederholen den Begriff des allgemeinen Lebesgue-Integrals. In diesem Abschnitt werden die Begriffe messbare Funktion und Integral kurz wiederholt, die klassischen Konvergenzsäatze bewiesen sowie Maße mit Dichten betrachtet.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 3. Weitere klassische Sätze der Integrationstheorie

Zusammenfassung

Worum geht’s? Klassische Sätze der Integrationstheorie sind unter anderem der Satz von Fubini (Vertauschbarkeit von Integralen), der Transformationssatz für das Lebesgue-Integral und der Satz von Radon & Nikodým (Existenz von Dichten). Die Anwendungen des Satzes von Fubini und des Transformationssatzes sind zum Teil schon aus Band 1 bekannt; hier werden die Sätze in allgemeiner Form formuliert und bewiesen. Der Satz von Radon & Nikodým besitzt auch Anwendungen in der Stochastik.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 4. Die L p -Räume

Zusammenfassung

Worum geht’s? Die vielleicht wichtigsten Beispiele für Banachräume sind die Räume L ^p (μ) mit 1 ≤ p ≤ 1 ∞ (p = 2: Hilbertraum), welche durch Äquivalenzklassenbildung aus den entsprechenden Funktionenräumen \(\mathcal{L}^p(\mu)\) entstehen. Am interessantesten ist hierbei wieder das Lebesgue-Maß, d. h. die Räume L ^p (U) mit \(U \subset \mathbb{R}^n\). In diesen Räumen liegen für p < ∞ die stetigen Funktionen und sogar die Testfunktionen dicht, wie man mit Hilfe der Faltung zeigen kann.

Robert Denk, Reinhard Racke

Das allgemeine Lebesgue-Integral: erste Eigenschaften

Kapitel 5. Holomorphe Abbildungen und Integration

Zusammenfassung

Worum geht’s? In der Funktionentheorie werden Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit Werten in den komplexen Zahlen untersucht. Der Raum der komplex differenzierbaren Funktionen trägt eine reichhaltige Struktur, die hier im Detail entwickelt und untersucht werden soll. Die gewonnenen Resultate finden Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und in anderen Wissenschaften wie beispielsweise der Physik.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 6. Der Cauchysche Integralsatz und Potenzreihenentwicklung

Zusammenfassung

Worum geht’s? Zunächst wird die wichtige Eigenschaft holomorpher Funktionen bewiesen, dass Integrale über geschlossene Wege verschwinden. Daraus ergibt sich über Darstellungsformeln, dass holomorphe Funktionen sich in Potenzreihen entwickeln und sich über Randwerte abschätzen lassen. Betrachtungen von Umkehrungen holomorpher Funktionen bilden den Abschluss des Kapitels.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 7. Spezielle Funktionen und das Schwarzsche Lemma

Zusammenfassung

Worum geht’s? Eine Reihe von holomorphen Funktionen wie Möbiustrans-formationen, aber auch Polynome, die Exponential- und die Logarithmusfunktion oder die Winkelfunktionen verdienen eine gesonderte Betrachtung. Als wichtige Hilfsmittel für das Studium von Funktionen auf dem Einheitskreis bzw. Fortsetzung von Funktionen in Halbebenen erweisen sich das Schwarzsche Lemma bzw. das Schwarzsche Spiegelungsprinzip.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 8. Ganze Funktionen und Laurentreihen

Zusammenfassung

Worum geht’s? Überall in \(\mathbb{C}\) holomorphe Funktionen und ihre Werteverteilungen interessieren uns zunächst. Daran schließt sich eine Verallgemeinerung von Taylorreihen für in Kreisen definierte holomorphe Funktionen auf Laurentreihen in Kreisringen an, die später beim Residuenkalkül nützlich sein wird.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 9. Der Residuenkalkül

Zusammenfassung

Worum geht’s? Das Studium von Integralen über meromorphe Funktionen und die Berechnung von Residuen erlaubt es insbesondere, reelle Integrale über den Weg ins Komplexe zu berechnen.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 10. Konforme Abbildungen: Der Riemannsche Abbildungssatz

Zusammenfassung

Worum geht’s? Zum Abschluss der Funktionentheorie sollen Klassen von Gebieten charakterisiert werden, die konform aufeinander abgebildet werden können.

Robert Denk, Reinhard Racke

Weitere klassische SÄatze der Integrationstheorie

Kapitel 11. Topologische und metrische Räume, Kompaktheit

Zusammenfassung

Worum geht’s? In diesem Kapitel werden topologische Begriffe wiederholt und vertieft. Wichtige Begriffe sind die Basis einer Topologie, die von einer Menge von Abbildungen erzeugte Topologie sowie die Kompaktheit. In metrischen Räumen ist die Kompaktheit äquivalent zur Folgenkompaktheit.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 12. Normierte Räume und Hilberträume

Zusammenfassung

Worum geht’s? Nach einer kurzen Zusammenfassung und Wiederholung der Begriffe normierter Raum und Banachraum werden hier Hilberträume behandelt. Wichtige Sätze in Hilberträumen sind der Approximationssatz, der Projektionssatz und der Satz von Riesz. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis, und jedes Element lässt sich als (im Allgemeinen unendliche) Reihe bezüglich einer Orthonormalbasis darstellen.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 13. Lineare Operatoren: Grundbegriffe

Zusammenfassung

Worum geht’s? Hier wird einer der zentralen Begriffe der Funktionalanalysis definiert, der des (beschränkten oder unbeschränkten) linearen Operators. Zentrale Begriffe sind das Spektrum bzw. die Resolventenmenge. Ein wichtiges Hilfsmittel ist die Neumannsche Reihe, die es erlaubt, Invertierbarkeit von Operatoren zu zeigen. Damit kann auch die Abgeschlossenheit des Spektrums bewiesen werden. Bei beschränkten Operatoren ist das Spektrum stets nichtleer und kompakt.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 14. Dualräume und adjungierte Operatoren

Zusammenfassung

Worum geht’s? Die Betrachtung des Dualraums eines normierten Raums und die damit zusammenhängenden Konzepte des adjungierten Operators bzw. der schwachen Konvergenz sind wichtige Bestandteile der Funktionalanalysis. Ausgangspunkt sind Hahn & Banach-Sätze und ihre Folgerungen, welche eine Konstruktion von Funktionalen und Trennungsaussagen ermöglichen.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 15. Der Satz von Baire, Folgerungen und schwache Konvergenz

Zusammenfassung

Worum geht’s? Der Kategoriensatz von Baire ist Grundlage für eine Reihe klassischer Sätze der Funktionalanalysis: Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, Satz von Banach & Steinhaus, Prinzip der offenen Abbildung, Satz vom stetigen Inversen und Satz vom abgeschlossenen Graphen. Anwendungen dieser Sätze ergeben Aussagen über lineare Operatoren (zum Beispieldie Stetigkeit des inversen Operators) wie auch über schwache Konvergenz. Die schwache Konvergenz ist in vielen Anwendungen leichter zu zeigen als die starke Konvergenz; daher sind Ergebnisse über Vollständigkeit bzw. Kompaktheit in der schwachen Topologie nützlich.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 16. Distributionen und Sobolevräume

Zusammenfassung

Worum geht’s? In diesem Kapitel wird der Ableitungsbegriff verallgemeinert: Funktionen können als Spezialfälle von Distributionen aufgefasst werden, welche als stetige lineare Funktionale auf dem Raum der „Testfunktionen“ defuniert sind. Dadurch wird jede Distribution (unendlich oft) differenzierbar, wobei die Ableitung wiederum im Allgemeinen nur im distributionellen Sinn existiert. Eine wichtige Distribution ist die Dirac-Distribution. Der distributionelle Ableitungsbegriff ist die Grundlage für die Definition der Sobolevräume, welche den kanonischen Definitionsbereich von Differentialoperatoren bilden. Wichtige Sätze aus der Theorie der Sobolevräume sind der Sobolevsche Einbettungssatz und der Auswahlsatz von Rellich & Kondrachov.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 17. Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren

Zusammenfassung

Worum geht’s? Bei selbstadjungierten Operatoren gibt es verschiedene Beschreibungen des Spektrums. Nützlich für Anwendungen sind etwa der numerische Wertebereich und der Begriff des approximativen Eigenwertes, welche in diesem Kapitel vorgestellt und kurz diskutiert werden. Daneben werden noch Kriterien für die Selbstadjungiertheit symmetrischer Operatoren angegeben, welche ebenfalls in Anwendungen von Vorteil sind.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 18. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren

Zusammenfassung

Worum geht’s? Der Spektralsatz ist das Hauptergebnis dieses funktionalanalytischen Teils. Er verallgemeinert die Transformation einer hermiteschen Matrix auf Diagonalform auf den Fall eines beliebigen selbstadjungierten Operators. Hier werden zunächst beschränkte Operatoren betrachtet. Im ersten Teil werden Spektralscharen und die zugehörigen Integrale diskutiert, im zweiten Teil wird der Spektralsatz bewiesen. Als Integrationskonzept liegt dabei das Riemann & Stieltjes-Integral zugrunde, da sich dieses recht elementar auf Spektralscharen übertragen lässt.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 19. Kompakte lineare Abbildungen

Zusammenfassung

Worum geht’s? Es werden kompakte lineare Operatoren diskutiert. Die Menge der kompakten Operatoren ist abgeschlossen bezüglich der Operatornorm, und die Verknüpfung eines stetigen und eines kompakten Operators ist wieder kompakt. Der Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren führt auf eine Reihendarstellung, da das Spektrum abzählbar ist und bis auf die Null nur aus Eigenwerten besteht.

Robert Denk, Reinhard Racke

Die Lp-Räaume

Kapitel 20. Ein Überblick

Zusammenfassung

Worum geht’s? Ein erster Einblick in Methoden zur Analyse partieller Differentialgleichungen stellt insbesondere elliptische, parabolische und hyperbolische Gleichungen vor, die zum größten Teil am Beispiel der Laplace-Gleichung (Potentialgleichung), der Wärmeleitungsgleichung bzw. der Wellengleichung erklärt werden. In diesem einleitenden Kapitel werden wichtige Beispiele partieller Differentialgleichungen vorgestellt und mögliche Ansätze zu ihrer Lösung diskutiert.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 21. Gleichungen erster Ordnung und Typeinteilung

Zusammenfassung

Worum geht’s? Zunächst wird ein lokaler Existenzsatz Gleichungen erster Ordnung vorgestellt. Eine lokale Lösbarkeit kommt auch im Satz von Cauchy & Kowalevsky vor. Ebenfalls findet sich eine erste Einteilung PDGL zweiter Ordnung, bei der die wichtigsten Typen vorgestellt werden.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 22. Grundlösungen und elliptische Gleichungen

Zusammenfassung

Worum geht’s? Statt klassische Lösungen werden oft schwache Lösungen betrachtet, die über Distributionen (vgl. Kapitel 16) definiert werden. Nun werden die Faltung von Distributionen und der Begriff der Grundlösung behandelt. Darüber hinaus werden anhand der Laplace- oder Potentialgleichung einige Grundbegriffe der Potentialtheorie vorgestellt. Dabei geht es vor allem umden Existenznachweis einer Grundlösung. Randwertaufgaben werden kurz angesprochen.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 23. Parabolische Gleichungen

Zusammenfassung

Worum geht’s? Bei parabolischen PDGL, speziell der Wärmeleitungsgleichung, wird die Fourier-Transformation zur Gewinnung einer Lösung eingesetzt. Wir erhalten eine Lösungsdarstellung als Integral, welches auch zur Lösung der Black & Scholes-Gleichung beiträgt. Es gilt wieder ein Maximumprinzip.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 24. Hyperbolische Gleichungen

Zusammenfassung

Worum geht’s? Der Reihe nach werden wir Lösungsdarstellungen für die Wellengleichung in einer, dann in drei und in zwei Dimensionen im ganzen Raum konstruieren. Mit Hilfe der Fouriertransformation ergibt sich eine Lösungstheorie in allgemeinen Dimensionen. Energieabschätzungen und Bemerkungen zur Situation in Gebieten mit Rand schließen sich an.

Robert Denk, Reinhard Racke

Kapitel 25. Hilbertraum-Methoden

Zusammenfassung

Worum geht’s? Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen in Sobolevräumen kann man mit funktionalanalytischen Methoden gewinnen. Zunächst wird der Laplace-Operator als einfachstes Beispiel für die Anwendbarkeit der Hilbertraum-Methoden untersucht, danach werden die Ergebnisse auf allgemeine koerzitive Operatoren zweiter Ordnung übertragen.

Robert Denk, Reinhard Racke

Holomorphe Abbildungen und Integration

Kapitel 26. Prüfungsvorbereitung

Zusammenfassung

In den folgenden Kapiteln stellen wir zur Prüfungsvorbereitung typische Prüfungsfragen für mündliche oder schriftliche Prüfungen zusammen. Als Hinweis zur Beantwortung wird jeweils nur ein Hinweis auf den passenden Abschnittim vorhergehenden Text angegeben, um bewusst keine fertigen Frage-Antwort-Beispiele, die zum Auswendiglernen verleiten könnten, zu liefern.

Robert Denk, Reinhard Racke

Backmatter

Titel: Kompendium der ANALYSIS - Ein kompletter Bachelor-Kurs von Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen
verfasst von: Robert Denk
Reinhard Racke
Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
Electronic ISBN: 978-3-8348-2123-2
Print ISBN: 978-3-8348-1566-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8348-2123-2