Komplexe Strukturen: Entropie und Information

Der Strukturbegriff spielt sowohl in der modernen Wissenschaft, als auch im täglichen Leben eine zentrale Rolle. Kaum ein Terminus wird so häufig gebraucht, wenngleich nicht überall in derselben Bedeutung. Wir verwenden hier den Begriff “Struktur” nicht im umgangssprachlichen Sinne, sondern in der Bedeutung, die er in den Grundlagenwissenschaften hat — etwa der Mathematik, der Systemtheorie (Casti, 1979) und der Theorie der Selbstorganisation (Ebeling, 1976):

Unter Struktur verstehen wir die Art der Zusammensetzung eines Systems aus Elementen und die Menge der Relationen bzw. Operationen, welche die Elemente miteinander verknüpfen.

Im Zentrum der folgenden Untersuchungen stehen Symbolsequenzen oder allgemeiner lineare Strukturen. Die Anbindung an das Gebiet der Informationstheorie erfolgt durch Betrachtung der Symbolsequenzen als kodierte Nachrichten in einem Kommunikationsprozeß.

Im vorigen Kapitel waren die Grundlagen für eine informationstheoretische Analyse von Symbolsequenzen dargestellt worden. Allgemeiner als eine Symbolsequenz ist der Begriff einer Struktur. Zwischen beiden kann jedoch auf sehr anschauliche Weise eine Verbindung hergestellt werden. Die Idee besteht darin, räumliche, zeitliche oder raumzeitliche quantitative¹ Strukturen durch den Vorgang des Abtastens (scanning) auf eine Symbolfolge abzubilden.

Zu den einfachsten Strukturen, die komplexen Charakter tragen können, gehören Symbol-Sequenzen. Darunter verstehen wir hinreichend lange Folgen von Buchstaben, Zahlen, Signalen, Molekülen, Spins oder anderen physikalischen Elementen. Im vorigen Kapitel haben wir bereits Buchstabenfolgen betrachtet, die durch mathematische Vorschriften, Abbildungen, definiert wurden. Hier werden wir uns auf natürliche Sequenzen konzentrieren und ihre Struktur sowie einen einfachen Ansatz für ihre Dynamik studieren. Beispiele natürlicher Sequenzen sind Briefe, Telegramme, Bücher, Biopolymere, Schallplatten, Disketten usw. Symbolfolgen stehen im Zentrum der modernen Informatik, die nahezu alle denkbaren Informationen, darunter auch zwei- und dreidimensionale Muster, Farbbilder, Sprach- und Musiksignale, als lineare Folgen von Symbolen kodiert. Dabei muß in den meisten Fällen eine Vereinbarung über das zu benutzende Alphabet getroffen werden.

Es ist eine weitverbreitete Meinung, daß Ästhetik auf der einen Seite und Mathematik/Naturwissenschaften auf der anderen Seite durchschnittsfremd sind. Der gesunde Menschenverstand sträubt sich gewissermaßen dagegen, eine tiefere Beziehung zwischen einem Gemälde oder einer Symphonie und quantitativen Gesetzen, wie etwa den Maxwellschen Gleichungen, anzuerkennen. Andererseits sind aber Kunstwerke, wie eine Bachfuge, ein Gemälde, ein Bauwerk oder eine Skulptur, vor aller ästhetischer Bedeutung auch physikalische Objekte in ein, zwei oder drei Dimensionen. Damit sind sie auch einer Analyse mit physikalischen Methoden zugänglich. Es wäre natürlich naiv anzunehmen, daß physikalische Charakteristika dieser Objekte wie Länge, Masse, Impuls usw. eine direkte ästhetische Relevanz besäßen. Die Schönheit eines Gemäldes kann nicht anhand seiner Fläche ermittelt werden, auch wenn auf dem Flohmarkt häufig sein Preis danach bemessen wird. Unbestreitbar bestehen aber enge Beziehungen zwischen den Symmetrien, oder besser gesagt den gebrochenen Symmetrien eines künstlerischen Objektes und seiner ästhetischen Beurteilung, wie z.B. Weyl (1952) und Caglioti (1983, 1988) im Detail gezeigt haben.