Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Das etwas andere Mathe-Lehrbuch: Mathematik, die Informatiker (und nicht nur die!) wirklich brauchen, und die direkt am Computer umgesetzt wird in Form von kleinen Algorithmen, numerischen "Experimenten" und interaktiven Visualisierungen. Man lernt, wie man dem Computer das Rechnen überlässt, während man selbst den mathematischen Überblick behält, typische Fehler vermeidet und die Ergebnisse richtig interpretiert. (Und nebenbei lernt man noch die beliebte Programmiersprache Python sowie den Umgang mit einem Computeralgebrasystem.)

Gleichzeitig wird die Mathematik aber nicht zur "Hilfswissenschaft" degradiert. Der Autor motiviert und begründet im "Plauderton" und mit konkreten Beispielen und Knobelaufgaben (und manchmal auch mit kleinen philosophischen und historischen Exkursen), um so den Leser zum Mitmachen und Mitdenken aufzufordern. Im Idealfall hat man am Ende nicht nur etwas gelernt, sondern verspürt Lust auf mehr - und sieht die Mathematik danach vielleicht mit anderen Augen.

Mit informatik-spezifischen Anwendungen unter anderem aus der Kryptographie, der Kodierungs- und Komplexitätstheorie sowie der Computergrafik. Unterstützt durch viele farbige Grafiken, etwa 1000 Aufgaben mit Lösungen und nicht zuletzt Hunderte von Videos, in denen man sich das Gelesene vom Autor noch mal "persönlich" erklären lassen kann.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Erste Schritte mit Python

Im ersten Kapitel geht es um die Grundlagen des Programmierens in Python: Variablen, Zuweisungen, Iterationen, bedingte Anweisungen und die Definition von Funktionen. Es werden keine Programmierkenntnisse vorausgesetzt.

Edmund Weitz

2. Ganze Zahlen

Im zweiten Kapitel werden die ganzen Zahlen thematisiert und Stellenwertsysteme untersucht. Eine prominente Rolle spielt das für die Informatik wichtige Binärsystem. Algorithmen zur Umwandlung zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen werden entwickelt.

Edmund Weitz

3. Modulare Arithmetik

Im dritten Kapitel wird die sogenannte modulare Arithmetik (Rechnen in Restklassenringen) eingeführt. Diese spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, ist aber auch für das Verständnis der Ganzzahlarithmetik in Computern wichtig.

Edmund Weitz

4. Negative Zahlen

Im vierten Kapitel werden die Konzepte der Teilbarkeit und der modularen Arithmetik auf negative Zahlen ausgeweitet. Zudem wird das Zweierkomplement als Darstellung negativer ganzer Zahlen in Computern eingeführt.

Edmund Weitz

5. Euklids Algorithmus

Im fünften Kapitel wird der euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen vorgestellt. Zusätzlich wird der erweiterte euklidische Algorithmus demonstriert und programmiert, der für die Division in Restklassenkörpern wichtig ist.

Edmund Weitz

6. Division

Im sechsten Kapitel wird gezeigt, dass man in manchen Restklassenringen dividieren kann, während das in anderen nicht möglich ist. Das führt zum Konzept der endlichen Körper. Als Anwendung endlicher Körper wird ein einfaches Fehlererkennungsverfahren gezeigt.

Edmund Weitz

7. Der chinesische Restsatz

Im siebten Kapitel geht es um den chinesischen Restsatz: ein Verfahren aus der Zahlentheorie, das in der Kryptographie eine Rolle spielt.

Edmund Weitz

8. Primzahlen

Im achten Kapitel werden Primzahlen thematisiert. Die grundlegenden Resultate wie z.B. der Fundamentalsatz der Arithmetik und der Satz von Euklid werden begründet. Weiterführende Konzepte wie der Primzahlsatz, Primzahlzwillinge, die Ulam-Spirale und die Riemannsche Vermutung werden kurz vorgestellt.

Edmund Weitz

9. Anwendung: Primzahltests

Im neunten Kapitel wird der kleine Satz von Fermat bewiesen und auf ihm aufbauend die Idee eines Fermatschen Primzahltests erläutert. Nach einer Diskussion der Problematik von Carmichael-Zahlen wird der Miller-Rabin-Test vorgestellt und in Python implementiert.

Edmund Weitz

10. Anwendung: Das RSA-Kryptosystem

Als Anwendung der vorherigen Abschnitte wird im zehnten Kapitel das RSA-Kryptosystem, das in der Praxis eine wichtige Rolle spielt, vorgestellt und auch in Python implementiert.

Edmund Weitz

11. Rationale Zahlen

Im elften Kapitel werden die rationalen Zahlen eingeführt. Die Unterschiede zu den ganzen Zahlen werden diskutiert und es wird demonstriert, dass rationale Zahlen typischerweise nicht exakt im Computer dargestellt werden können. Als Alternative wird die Darstellung von exakten Brüchen in Python eingeführt.

Edmund Weitz

12. Rationale Zahlen im Computer

Im zwölften Kapitel wird anhand von zwei einfachen, aber konkreten Beispielen (Festkomma- und Fließkomma-Darstellung) die Repräsentation von rationalen Zahlen im Computer diskutiert. Insbesondere werden unvermeidliche Fehler wie Auslöschung, Absorption und Unterlauf besprochen.

Edmund Weitz

13. Das IEEE-Format

Das 13. Kapitel ist dem in aktuellen Computern ubiquitären IEEE-754-Format gewidmet, auf das im Detail eingegangen wird. Unter anderem werden auch die Darstellung von Nachkommastellen im Binärformat, denormalisierte Zahlen und das wissenschaftliche Runden thematisiert.

Edmund Weitz

14. Irrationale Zahlen

Im 14. Kapitel geht es um irrationale Zahlen. Es werden verschiedene Beweise für die Irrationalität bekannter Zahlen sowie ein klassisches Verfahren zur Approximation irrationaler Zahlen durch rationale vorgeführt. Am Ende des Kapitel werden informell die reellen Zahlen eingeführt.

Edmund Weitz

15. Mengen

Im 15. Kapitel geht es um die sogenannte ″naive″ Mengenlehre. Grundlegende Operationen wie Vereinigung, Durchschnitt und mengentheoretische Differenz werden eingeführt und parallel in Python demonstriert. Einen Schwerpunkt bildet die in Fachartikeln allgegenwärtige beschreibende Mengenschreibweise. Als Vertiefung werden am Ende des Kapitels die reellen Zahlen über Dedekindsche Schnitte konstruiert.

Edmund Weitz

16. Endliche Kombinatorik

Im 16. Kapitel geht es um Grundlagen der endlichen Kombinatorik. Unter anderem werden Tupel, Mengenprodukte und das Inklusions-Exklusions-Prinzip eingeführt. Im Zusammenhang mit Summen- und Produktzeichen werden die Gaußsche und die geometrische Summenformel hergeleitet.

Edmund Weitz

17. Permutationen, Variationen und Kombinationen

Im 17. Kapitel werden die klassischen kombinatorischen Resultate über Permutationen, Kombinationen und Variationen hergeleitet. Im Zuge der Implementation dieser Techniken auf dem Computer wird das Konzept der Rekursion vorgeführt. Weitere Themen sind Binomialkoeffizienten, das Pascalsche Dreieck, der binomische Lehrsatz und die Potenzmenge.

Edmund Weitz

18. Unendliche Mengen

Im 18. Kapitel werden unendliche Mengen diskutiert. Dabei geht es insbesondere auch darum, potentielle Unendlichkeit mithilfe von Iteratoren in Python zu repräsentieren. Die Cantorschen Diagonalargumente und der Calkin-Wilf-Baum werden vorgeführt und Intervalle sowie der für die Informatik wichtige Begriff der Berechenbarkeit werden eingeführt.

Edmund Weitz

19. Funktionen

Im 19. Kapitel werden Funktionen sowohl als durch Rechenvorschriften definierte Abbildungen als auch als abstrakte mengentheoretische Konstrukte diskutiert. Dabei werden grundlegende Begriffe wie Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, Umkehrfunktion, Verknüpfung und Komposition eingeführt.

Edmund Weitz

20. Überabzählbare Mengen

Im 20. Kapitel wird die Diskussion unendlicher Mengen aus dem 18. Kapitel vertieft. Während im 18. Kapitel der zentrale Begriff der der Berechenbarkeit war, folgt dieses Kapitel der mathematischen Argumentation von Cantor. Der Satz von Cantor wird bewiesen und die Begriffe ″abzählbar″ und ″überabzählbar″ werden eingeführt.

Edmund Weitz

21. Computeralgebra

Im 21. Kapitel wird am Beispiel der Python-Bibliothek SymPy ein Computeralgebrasystem vorgeführt. Es wird demonstriert, wie sich das symbolische Rechnen von der beim Programmieren üblicherweise eingesetzten numerischen Mathematik unterscheidet. SymPy wird im Rest des Buches regelmäßig verwendet.

Edmund Weitz

22. Elementargeometrie

Im 22. Kapitel werden die grundlegenden Ergebnisse der (synthetischen) Elementargeometrie, die größtenteils aus der Schule bekannt sein sollten, zusammengefasst. Den Schwerpunkt des Kapitels bilden Aussagen über Dreiecke wie der Satz des Pythagoras und die Additionstheoreme.

Edmund Weitz

23. Die trigonometrischen Funktionen

Das 23. Kapitel thematisiert als Fortsetzung des 22. Kapitels insbesondere die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens sowie deren Umkehrfunktionen, die Arkusfunktionen.

Edmund Weitz

24. Analytische Geometrie: Koordinaten

Im 24. Kapitel werden die Grundlagen der analytischen Geometrie eingeführt. Insbesondere geht es dabei um kartesische Koordinatensysteme und Polarkoordinaten sowie um die Darstellung geometrischer Figuren als Mengen von Tupeln.

Edmund Weitz

25. Vektoren

Im 25. Kapitel werden Vektoren zunächst als koordinatenfreie Objekte und dann im Rahmen von kartesischen Koordinatensystemen eingeführt. Operationen mit Vektoren sowie die Darstellung von Geraden, Strecken und Ebenen mittels Vektoren werden besprochen.

Edmund Weitz

26. Matrizen

Im 26. Kapitel werden Matrizen eingeführt und es wird demonstriert, wie man mit Matrizen rechnet. Einen Schwerpunkt bildet die Multiplikation von Matrizen. Auch das Rechnen mit Matrizen im Computeralgebrasystem SymPy wird vorgeführt.

Edmund Weitz

27. Lineare Gleichungssysteme

Das Thema des 27. Kapitels sind lineare Gleichungssysteme. Sowohl das Gaußsche Eliminationsverfahren als auch das Gauß-Jordan-Verfahren werden ausführlich behandelt und auch in Python implementiert.

Edmund Weitz

28. Computergrafik, erste Schritte

Im 28. Kapitel wird eine speziell für das Buch geschriebene Python-Bibliothek vorgeführt, mit der man Objekte aus dem Bereich der analytischen Geometrie am Bildschirm visualisieren kann. Diese Bibliothek wird in den folgenden Kapitel regelmäßig verwendet.

Edmund Weitz

29. Lineare Abbildungen

Im 29. Kapitel wird das Konzept der linearen Abbildung eingeführt. Wichtige Klassen von linearen Abbildungen wie Scherungen, Drehungen und Spiegelungen werden definiert, visualisiert und am Computer ausprobiert. Es werden verschiedene Charakterisierungen von linearen Abbildungen besprochen.

Edmund Weitz

30. Inverse Matrizen und Determinanten

Im 30. Kapitel geht es um das Umkehren linearer Abbildungen und im Zusammenhang damit um das Invertieren von Matrizen (mithilfe von elementaren Zeilenumformungen). Determinanten werden eingeführt und die Berechnung von Determinanten wird diskutiert und in Python implementiert. Am Ende des Kapitels werden die bis dahin erarbeiteten Kernaussagen der linearen Algebra zusammengefasst.

Edmund Weitz

31. Das Skalarprodukt

Im 31. Kapitel wird das euklidische Skalarprodukt eingeführt. Darauf aufbauend werden Norm, Metrik und Winkel definiert und als beispielhafte Anwendung die hessesche Normalenform vorgeführt. Orthogonale Abbildungen und Matrizen werden diskutiert und als Vertiefung wird am Ende des Kapitels kurz auf die Singulärwertzerlegung eingegangen.

Edmund Weitz

32. Anwendung: Homogene Koordinaten

Im 32. Kapitel wird als Anwendung für die Computergrafik demonstriert, wie mit Methoden der projektiven Geometrie Translationen und nichtlineare Projektionen als lineare Abbildungen in höheren Dimensionen repräsentiert werden können. Die besprochenen Methoden werden exemplarisch in Python implementiert.

Edmund Weitz

33. Anwendung: 3D-Darstellung

Im 33. Kapitel wird als Anwendung demonstriert, wie die mathematischen Methoden der vorherigen Kapitel eingesetzt werden können, um dreidimensionale Objekte auf einem zweidimensionalen Bildschirm darzustellen. Sowohl Parallel- als auch Zentralprojektion werden thematisiert und jeweils in Python umgesetzt.

Edmund Weitz

34. Ausblick: Abstrakte Vektorräume

Das 34. Kapitel schließt die Beschäftigung mit der linearen Algebra mit einem Ausblick ab. Es wird diskutiert, wie man durch Abstraktion die Begriffe ″Vektor″ und ″Skalar″ verallgemeinern kann. Als beispielhafte Anwendung solcher Methoden wird Fehlerkorrektur mit Hamming-Codes vorgeführt.

Edmund Weitz

35. Komplexe Zahlen

Im 35. Kapitel werden die komplexen Zahlen eingeführt. Es wird gezeigt, wie man mit solchen Zahlen rechnet, wie man sie in Python verwendet und wie man das Rechnen mit komplexen Zahlen visualisieren kann. Ferner wird gezeigt, dass sich mithilfe der komplexen Zahlen jede quadratische Gleichung lösen lässt. Eine Vertiefung am Ende des Kapitels geht auf das Lösen kubischer Gleichungen und die Geschichte der komplexen Zahlen ein.

Edmund Weitz

36. Wo sind die komplexen Nullstellen?

Im 36. Kapitel wird anhand verschiedener Beispiele visuell demonstriert, welche tiefen Zusammenhänge zwischen den reellen und den komplexen Zahlen bestehen. Unter anderem geht es darum, ″wo″ komplexe Nullstellen zu finden sind und wie komplexe Zahlen das Konvergenzverhalten von reellen Reihen beeinflussen.

Edmund Weitz

37. Folgen und Grenzwerte

Im 37. Kapitel geht es um Zahlenfolgen und deren Grenzwerte, die zunächst numerisch und experimentell am Computer untersucht werden. Begriffe wie ″Konvergenz″, ″Divergenz″ und ″fast alle″ werden eingeführt und das Konvergenzverhalten einiger wichtiger Folgen wird erläutert. Die Eulersche Zahl kommt zum ersten Mal vor.

Edmund Weitz

38. Grenzwerte spezieller Folgen

Das 38. Kapitel ist eine Vertiefung des vorherigen Kapitels. Die Grenzwerte, die ursprünglich nur informell eingeführt wurden, werden nun mathematisch hergeleitet. Eine erste numerische Approximation der Eulerschen Zahl wird durchgeführt.

Edmund Weitz

39. Die Landau-Symbole

Als erste Anwendung analytischer Methoden werden die in der Informatik häufig verwendeten Landau-Symbole eingeführt. Dafür wird exemplarisch die Laufzeit verschiedener einfacher Algorithmen analysiert.

Edmund Weitz

40. Die Mandelbrot-Menge

Nachdem in den vorherigen Kapiteln die notwendigen mathematischen Grundlagen gelegt wurden, kann im 40. Kapitel die beliebte Mandelbrot-Menge thematisiert werden. Es wird erklärt, wie diese Menge definiert ist, und es wird auch exemplarisch gezeigt, wie man sie mithilfe von Python visualisieren könnte. Am Ende des Kapitels wird anhand der Mandelbrot-Menge kurz die philosophische Frage nach dem Wesen der Mathematik diskutiert.

Edmund Weitz

41. Funktionen zeichnen

Im 41. Kapitel wird eine für das Buch geschriebene Python-Bibliothek vorgeführt, mit der man Funktionsgraphen, Kurven, Flächen und Vektorfelder zeichnen kann. Diese Bibliothek wird in den folgenden Kapitel häufig eingesetzt.

Edmund Weitz

42. Grenzwerte und Stetigkeit

Im 42. Kapitel werden Grenzwerte von Funktionen thematisiert und der Begriff der Stetigkeit wird eingeführt und auf verschiedene Arten charakterisiert. Es wird gezeigt, wie man mit SymPy Grenzwerte berechnen kann. Als Vertiefung wird am Ende des Kapitels der Zwischenwertsatz bewiesen.

Edmund Weitz

43. Reihen: unendliche Summen

Im 43. Kapitel geht es um Reihen, also sozusagen um ″unendliche Summen″. Nach der Klärung der grundlegenden Begriffe werden einige wichtige Reihen eingeführt und es wird gezeigt, wie man in SymPy mit Reihen arbeitet. Als Vertiefung wird am Ende des Kapitels ein alternativer Beweis für die Überabzählbarkeit echter Intervalle geliefert.

Edmund Weitz

44. Die Exponentialfunktion

Auf der Basis der im 43. Kapitel eingeführten Exponentialreihe wird im 44. Kapitel die Exponentialfunktion definiert. Ihre Eigenschaften, insbesondere ihre Funktionalgleichung, werden hergeleitet. Logarithmen und allgemeine Potenzen werden definiert.

Edmund Weitz

45. Integrale: kontinuierliche Summen

Im 45. Kapitel geht es in erster Linie um die Berechnung von Flächen. Zunächst wird die Gaußsche Trapezformel gezeigt, dann wird das Riemann-Integral eingeführt. Es wird gezeigt, wie man Integrale in Python numerisch approximieren kann. Es wird besprochen, dass man das Integral auch als ″kontinuierliche Summe″ interpretieren kann. Am Ende des Kapitels wird kurz auf die Nichtstandardanalysis und das Lebesgue-Integral eingegangen.

Edmund Weitz

46. Ableitungen: lineare Approximationen

Im 46. Kapitel wird die Ableitung zunächst als Tangentensteigung eingeführt. Die aus der Schule bekannten Eigenschaften und Rechenregeln werden visuell oder mithilfe des Leibnizschen Infinitesimalkalküls begründet. Weitere Charakterisierungen der Ableitung (als momentane Änderungsrate bzw. als lineare Approximation) werden diskutiert.

Edmund Weitz

47. Grundlagen der Analysis

Im 47. Kapitel werden Aussagen aus den beiden vorherigen Kapiteln vertieft bzw. mathematisch hergeleitet. Insbesondere geht es hier um den Satz von Bolzano-Weierstraß, den Satz vom Minimum und Maximum, den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Edmund Weitz

48. Der Fundamentalsatz der Analysis

Das 48. Kapitel thematisiert den Fundamentalsatz der Analysis, den man auch Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nennt. Aus diesem wird die Newton-Leibniz-Formel hergeleitet. Uneigentliche Integrale werden definiert und am Ende des Kapitels werden kurz sogenannte ″spezielle Funktionen″ diskutiert, die keine elementaten Stammfunktionen haben.

Edmund Weitz

49. Polynome

Im 49. Kapitel geht es um Polynome bzw. ganzrationale Funktionen. Nach der Klärung der Grundbegriffe geht es um das Horner-Schema, das Zerlegen in Linearfaktoren, um Polynominterpolation, Runges Phänomen und Splines.

Edmund Weitz

50. Der Fundamentalsatz der Algebra

Als Ergänzung zum 49. Kapitel wird im 50. Kapitel der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynome über den komplexen Zahlen eine Nullstelle hat, bewiesen. Der Beweis entspricht nicht den formalen Ansprüchen eines Studiums der Mathematik, liefert aber eine intuitive visuelle Erklärung für dieses wichtige Resultat.

Edmund Weitz

51. Potenz- und Taylorreihen

Im 51. Kapitel wird anhand von Potenz- und Taylorreihen gezeigt, wie Computer die Werte von transzendenten Funktionen berechnen. Dabei geht es auch um höhere Ableitungen und um Begriffe wie ″glatt″, ″analytisch″, ″konvex″ oder ″konkav″ sowie um Konvergenzradien. Diverse Beispiele werden in Python durchgerechnet und visualisiert.

Edmund Weitz

52. Anwendung: Berechnung von pi

Als Anwendung der analytischen Methoden aus den vorherigen Kapiteln wird im 52. Kapitel gezeigt, wie man mithilfe eines sogenannten ″Tröpfelalgorithmus″ beliebig viele Nachkommastellen von Pi ausrechnen kann. Der Algorithmus wird in Python implementiert, wobei man nebenbei das in der Informatik verwendete Konzept des Funktionsabschlusses kennenlernt. Zudem wird ein ″Konvergenzbeschleunigungstrick″ von Euler hergeleitet und verwendet.

Edmund Weitz

53. Die Exponentialfunktion im Komplexen

Im 53. Kapitel wird die im 44. Kapitel definierte Exponentialfunktion als Funktion von den komplexen Zahlen in die komplexen Zahlen betrachtet. Die berühmte Eulerformel liefert einen überraschenden Zusammenhang zwischen dieser Funktion und den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus, der in den nächsten Kapiteln eine wichtige Rolle spielen wird. Die als ″schönste Formel der Welt″ bekannte Eulersche Identität wird visuell hergeleitet.

Edmund Weitz

54. Fourier-Analysis

Im 54. Kapitel wird die Idee der Fourier-Analysis vorgestellt: periodische Funktionen werden durch überlagerte Kosinus- und Sinusschwingungen approximiert. Die Theorie wird zunächst durch geometrische Analogien motiviert und im Anschluss wird das Verfahren exemplarisch in Python implementiert. Am Ende des Kapitels wird die für die Praxis wichtige Fourier-Analysis im Komplexen behandelt.

Edmund Weitz

55. Diskrete Fouriertransformation

Aufbauend auf dem vorherigen Kapitel wird im 55. Kapitel die diskrete Fouriertransformation behandelt, in der man nur endliche viele Funktionswerte (″Samples″) einer Funktion zur Verfügung hat und statt mit Integralen mit Methoden der linearen Algebra arbeitet. Das führt u.a. zum Abtasttheorem von Nyquist und Shannon. In der zweiten Hälfte des Kapitels wird die schnelle Fouriertransformation vorgestellt, die als einer der wichtigsten Algorithmen des 20. Jahrhunderts gilt. Als Anwendung dieser Methoden auf die Informatik wird schließlich noch der Schönhage-Strassen-Algorithmus zur Multiplikation sehr großer ganzer Zahlen erläutert.

Edmund Weitz

56. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Im 56. Kapitel werden Differentialgleichungen thematisiert. Sie werden anhand von physikalischen Beispielen motiviert und dann mathematisch definiert. Die wichtigsten Sätze über die Existenz und die Eindeutigkeit von Lösungen (Peano und Picard-Lindelöf) werden diskutiert. Im Anschluss wird gezeigt, wie sich Differentialgleichungen mithilfe von SymPy lösen lassen. Am Ende des Kapitels geht es schließlich noch um numerische Lösungsverfahren.

Edmund Weitz

57. Polynome über endlichen Körpern

Als Vorbereitung für zwei Anwendungskapitel werden die im 49. Kapitel eingeführten Polynome abstrahiert, indem sie über beliebigen (endlichen) Körpern betrachtet werden. Es wird untersucht, welche Eigenschaften reeller Polynome nach wie vor gelten, was sich ändert und inwiefern sich Polynome wie ganze Zahlen verhalten. Auch die Polynomdivision wird thematisiert. Zudem wird gezeigt, wie man in SymPy mit Polynomen über Restklassenringen rechnen kann.

Edmund Weitz

58. Anwendung: Das CRC-Verfahren

Im 58. Kapitel wird als Anwendungsbeispiel ein Fehlererkennungsverfahren aus der Praxis erläutert: die zyklische Redundanzprüfung. Dabei gehen ganz wesentlich die im vorherigen Kapitel diskutierten algebraischen Eigenschaften von Polynomen ein. Ein konkretes Beispiel wird in Python durchgerechnet.

Edmund Weitz

59. Anwendung: Reed-Solomon-Codes

Als zweite Anwendung für Polynome über endlichen Körpern werden im 59. Kapitel Reed-Solomon-Codes vorgestellt. Das sind Fehlerkorrekturverfahren, die in vielen Bereichen der Technik ständig eingesetzt werden. In diesem Kapitel werden Ergebnisse und Verfahren aus sehr vielen vorherigen Kapiteln verwendet. Das Ende des Kapitels geht vertiefend auf Galoiskörper ein, die keine Restklassenkörper sind.

Edmund Weitz

60. Wahrscheinlichkeit

Das 60. Kapitel ist eine Einführung in die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nachdem zunächst die grundlegenden Sigma-Algebren erklärt wurden, werden die Kolmogorow-Axiome und die damit zusammenhängenden Begriffe wie ″Ergebnis″, ″Ereignis″ oder ″Wahrscheinlichkeitsmaß″ definiert. Am Ende des Kapitels wird das sogenannte Bertrand-Paradoxon thematisiert.

Edmund Weitz

61. Bedingte Wahrscheinlichkeit

Der zentrale Begriff des 61. Kapitels ist der der bedingten Wahrscheinlichkeit. Das führt zur Formel von Bayes und zum Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit sowie zur stochastischen Unabhängigkeit. Es wird demonstriert, wie man in Python kompliziertere Laplace-Experimente simulieren kann. Am Ende des Kapitels wird das sogenannte Paradoxon vom Falsch-Positiven thematisiert.

Edmund Weitz

62. Anwendung: Dateivergleich

Als erste Anwendung der Stochastik auf die Informatik wird im 62. Kapitel ein probabilistischer Dateivergleich vorgeführt. Für dieses Verfahren spielt auch der Primzahlsatz aus dem 8. Kapitel eine wichtige Rolle. Der komplette Algorithmus wird exemplarisch in Python implementiert.

Edmund Weitz

63. Zufallsvariablen

Das Thema des 63. Kapitels sind Zufallsvariablen, die manchmal auch Zufallsgrößen genannt werden. Zentrale Begriffe wie Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung werden definiert und an Beispielen vorgeführt. Der Verschiebungssatz wird bewiesen.

Edmund Weitz

64. Diskrete Verteilungen

Im 64. Kapitel werden diverse wichtige diskrete Verteilungen eingeführt: die Bernoulli-Verteilung, die Binomialverteilung, die hypergeometrische und die geometrische Verteilung sowie die Poisson-Verteilung. Für alle Beispiele wird gezeigt, wie man mit den jeweiligen Verteilungen in Python arbeiten kann. Am Ende des Kapitels wird die Bedeutung der Faltung für das Addieren von Zufallsvariablen thematisiert.

Edmund Weitz

65. Stetige Verteilungen

Im 65. Kapitel wird erklärt, was eine stetige Verteilung ist und welche Rolle die Dichte einer solchen Verteilung spielt. Als Beispiele werden die Exponentialverteilung, die Normalverteilung und die stetige Gleichverteilung eingeführt und an Beispielen in Python durchgerechnet.

Edmund Weitz

66. Grenzwertsätze der Stochastik

Im 66. Kapitel werden die wichtigsten Grenzwertsätze der Stochastik behandelt: der Zentrale Grenzwertsatz, das Gesetz der großen Zahlen, das Theorem von Bernoulli und der Satz von Gliwenko-Cantelli. Die unterschiedlichen Konvergenzbegriffe der Stochastik werden diskutiert.

Edmund Weitz

67. Mathematische Statistik

Das 67. Kapitel beschäftigt sich mit der mathematischen Statistik, die auch schließende Statistik genannt wird. Nach einer Diskussion von Schätzfunktionen und deren Eigenschaften werden wichtige mathematische Tests eingeführt und exemplarisch in Python durchgerechnet. Es wird erklärt, was Hypothesentests und p-Werte sind und was die typischen Fehler bei der Anwendung statistischer Methoden sind.

Edmund Weitz

68. Anwendung: Datenkompression

Als Anwendung stochastischer Methoden auf die Informatik wird im 68. Kapitel diskutiert, wie Daten komprimiert werden können und wo die Grenzen solcher Methoden liegen. Das Kapitel führt ein in grundlegende Begriffe der Shannonschen Informationstheorie bis zum Quellencodierungstheorem. Zum Abschluss wird kurz der Begriff der Kolmogorow-Komplexität diskutiert.

Edmund Weitz

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

BranchenIndex Online

Die B2B-Firmensuche für Industrie und Wirtschaft: Kostenfrei in Firmenprofilen nach Lieferanten, Herstellern, Dienstleistern und Händlern recherchieren.

Whitepaper

- ANZEIGE -

Best Practices für die Mitarbeiter-Partizipation in der Produktentwicklung

Unternehmen haben das Innovationspotenzial der eigenen Mitarbeiter auch außerhalb der F&E-Abteilung erkannt. Viele Initiativen zur Partizipation scheitern in der Praxis jedoch häufig. Lesen Sie hier  - basierend auf einer qualitativ-explorativen Expertenstudie - mehr über die wesentlichen Problemfelder der mitarbeiterzentrierten Produktentwicklung und profitieren Sie von konkreten Handlungsempfehlungen aus der Praxis.
Jetzt gratis downloaden!

Bildnachweise