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Erschienen in:
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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf \(\mathbb{R}^n\)

verfasst von : Prof. Dr. Adrian Hirn, Prof. Dr. Christian Weiß

Erschienen in: Analysis – Grundlagen und Exkurse

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Um dieses Integral mit Leben zu füllen, konstruieren wir nun ein explizites, besonders interessantes Maß. Dieses soll, wie bereits angedeutet, insbesondere zwei Eigenschaften besitzen: Erstens soll es der Volumenberechnung dienen und zweitens soll das entstehende Integral das Riemann-Integral verallgemeinern. Dieses Ziel wird mit dem Lebesgue-Maß erreicht werden.

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Fußnoten
1
Alternativ wäre es auch möglich \(m(R) := \int \chi_R(x) \textrm{d} x\) mithilfe des Riemann-Integrals zu definieren.
 
2
Der Begriff Untergruppe bedeutet, dass G eine Teilmenge von \(\mathbb{R}\) und gleichzeitig eine Gruppe im Sinne der Definition 10.1 aus Bd. 1 ist.
 
3
Entscheidend für die Durchführbarkeit dieser Konstruktion ist, dass jede Untergruppe einer abelschen Gruppe normal ist, das heißt, es gilt xGx−1 = G für alle \(x \in \mathbb{R}\).
 
4
Benannt nach dem italienischen Mathematiker Giuseppe Vitali (1875–1932).
 
5
Benannt nach dem italienischen Mathematiker Guido Fubini (1879–1943).
 
6
Benannt nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598–1647).
 
7
Die Existenz bezüglich des Lebesgue-Maßes nicht messbarer Mengen haben wir in Satz 4.13 gezeigt.
 
8
In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird typischerweise der Buchstabe Ω anstelle von X für die Grundmenge verwendet.
 
9
Benannt nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654–1705).
 
10
Benannt nach dem französischen Mathematiker Simeon Poisson (1781–1840).
 
11
Benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Andrew Berry und dem schwedischen Mathematiker Carl-Gustav Esseen (1918–2001).
 
12
Benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Lebesgue (1875–1941) und dem niederländischen Mathematiker Thomas Stieltjes (1856–1894).
 
Literatur
[Ber41]
A. Berry, The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variables, Transaction of the American Mathematical Society 49(1941), 122–136.MathSciNetCrossRef
[Dob14]
R. Dobelli, Die Kunst des klaren Denkens, dtv, 2014.
[Ess44]
C.-G. Esseen, Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law, Acta Mathematica 77 (1944).MathSciNetCrossRef
[Kah12]
D. Kahneman, Thinking, Fast and Slow, Penguin, 2012.
[Kle13]
A. Klenke, Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, 2013.
[Kre07]
U. Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg, 2007.
Metadaten
Titel
Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf
verfasst von
Prof. Dr. Adrian Hirn
Prof. Dr. Christian Weiß
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Analysis – Grundlagen und Exkurse

Print ISBN: 978-3-662-55535-4

Electronic ISBN: 978-3-662-55536-1

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55536-1_4