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Über dieses Buch

Innovative technische Projekte mit komplexen Aufgabenstellungen erfordern oft solide Kenntnisse in der Kontinuumsmechanik. Denn häufig handelt es sich um Mehrfeldprobleme, die sich im Rahmen klassischer Konzepte der Technischen Mechanik nicht lösen lassen. Das Buch führt leicht verständlich in das anspruchsvolle Gebiet der Kontinuumsmechanik ein. Der Schwerpunkt liegt bei festen deformierbaren Körpern, wobei sich die vorgestellten Konzepte problemlos auch auf Fluide übertragen lassen.

Das Lehrbuch gliedert sich in vier Abschnitte: Grundbegriffe und mathematische Grundlagen, Materialunabhängige Gleichungen, Materialabhängige Gleichungen. Nach einer kurzen Einführung in Aufgaben, Betrachtungsweisen und Modelle der Kontinuumsmechanik werden zunächst die Grundzüge der Tensorrechnung vorgestellt. Die folgenden Kapitel behandeln systematisch die materialunabhängigen Aussagen der Kontinuumsmechanik, das heißt die Kinematik, die Kinetik und die Bilanzen. In den abschließenden Kapiteln zeigt der Autor anhand der für technische Anwendungen besonders wichtigen Teilgebiete (z.B. die lineare Theorie der Elastizität und der Thermoelastizität) wie die materialunabhängigen und die materialabhängigen Gleichungen zusammengefasst werden können. Zahlreiche Beispiele mit vollständigen Lösungen illustrieren den theoretischen Teil und erleichtern so das Verständnis.

In der 4. Auflage wurden zahlreiche Abschnitte überarbeitet und präzisiert, wobei auch die unterschiedlichen Konzepte der Kontinuumsmechanik noch deutlicher gemacht werden. Zahlreiche Fehler wurden beseitigt. Gleichzeitig wurde die Referenzliteratur erweitert sowie die Liste der weiterführenden Literatur ergänzt und aktualisiert.

Diese Einführung in die Kontinuumsmechanik richtet sich an Studierende an Universitäten und Fachhochschulen im Bereich Maschinenbau und Bauingenieurwesen, Physik und Technomathematik sowie an Wissenschaftler und Praktiker in der Industrie. Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Höheren Mathematik, der Physik, der Technischen Mechanik, der Thermodynamik, der Strömungslehre und der Werkstoffkunde, wie sie zu Beginn der Ausbildung vermittelt werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundbegriffe und mathematische Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Ziel des einführenden Kapitels ist die Erläuterung der Aufgabenstellung der Kontinuumsmechanik sowie ihrer grundlegenden Annahmen und Modelle. Zur besseren Einordnung bestimmter Fakten werden zunächst wichtige historische Entwicklungsetappen der Mechanik allgemein und in Hinblick auf die Kontinuumsmechanik genannt. Möglichkeiten und Grenzen einer Kontinuumsmechanik im Kontext phänomenologischer Ansätze werden diskutiert und erste Grundbegriffe eingeführt.Weiterführende Literatur zur Geschichte ist mit [3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 12; 13; 17; 14; 16; 15; 18; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30] gegeben.
Holm Altenbach

Kapitel 2. Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis

Die in der Kontinuumsmechanik betrachtetenGrößen sind Skalare, Vektoren und Tensoren, oder allgemeiner Tensoren nter Stufe mit n ≥ 0. Um die Einarbeitung in die Grundlagen der Kontinuumsmechanik zu erleichtern, werden nachfolgend nur kartesische Tensoren verwendet. Damit entfällt u.a. eine Unterscheidung von ko- und kontravarianten Basissystemen und von unteren und oberen Indizes. Gleichzeitig wird der Blick für das Wesentliche geschärft.
Viele Gleichungen lassen sich besonders übersichtlich in symbolischer Schreibweise formulieren. Für die Durchführung von Tensoroperationen ist aber oft eine Darstellung mit Basisvektoren oder eine verkürzte Indexschreibweise zweckmäßig. Die unterschiedlichen Schreibweisen werden zum besseren Verständnis der Gleichungen häufig parallel verwendet.
Abschnitt 2.1 fasst die wichtigsten Bezeichnungen, Definitionen und Rechenregeln zusammen. In den Abschnitten 2.2 und 2.3 folgen die Grundlagen der Tensoralgebra und -analysis. Tensorfunktionen werden in Abschn. 2.4 behandelt.
Weiterführende Literatur ist u.a. mit [3; 5; 4; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 16; 18; 20; 21] gegeben. In Analogie zu diesem Lehrbuch sind in den Büchern [3; 4; 9; 10] durchgerechnete Beispiele zu finden.
Holm Altenbach

Materialunabhängige Gleichungen

Frontmatter

Kapitel 3. Kinematik des Kontinuums

Aussagen der Kinematik betreffen die geometrischen Aspekte der Bewegungen materieller Körper. In Erweiterung zur Kinematik starrer Körper schließen Bewegungen deformierbarer Körper neben der Translation und der Rotation ohne Änderung der gegenseitigen Lage materieller Punkte auch Verformungen des Körpers ein, die immer mit relativen Lageänderungen der Körperpunkte verbunden sind. Somit haben Aussagen über die lokalen Deformationen eine besondere Bedeutung. Materielle Körper weisen unterschiedliche Bewegungen auf. Es können Bewegungen als Ganzes sein, wobei sich Volumen und Gestalt nicht ändern. Unter Deformationen wird daher hier stets die Gesamtheit der Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers verstanden, d.h. die Überlagerung von Starrkörperbewegungen und Volumen- sowie Gestaltänderungen. Sollen nur die Verformungen des Körpers betrachtet werden, d.h. von den Gesamtbewegungen der materiellen Punkte des Körpers werden alle Anteile der Starrkörperbewegungen abgezogen, wird der Begriff Verzerrung verwendet. Die Formulierung der im Abschn. 1.4 genannten kinematischen Größen erfolgt sowohl in materiellen (Lagrange’schen) als auch in räumlichen (Euler’schen) Koordinaten. Alle Gleichungen werden zunächst für große Deformationen abgeleitet. Ihre Linearisierung führt dann überschaubar auf vereinfachte lineare Beziehungen, die für viele Ingenieuranwendungen hinreichend genaue Aussagen liefern.
Holm Altenbach

Kapitel 4. Kinetische Größen und Gleichungen

Die Aussagen der Kinetik der Kontinua sind, wie die der Kinematik, unabhängig von den speziellen Materialeigenschaften der betrachteten Körper. Sie gelten somit gleichermaßen für alle Festkörper und Fluide. Ausgangspunkt dieses Kapitels ist die Klassifikation der äußeren Belastungen auf einen materiellen Körper und die Analyse von Festkörpern oder Fluiden auf die Wirkung dieser Belastungen. Dazu wird der Spannungsbegriff eingeführt und es werden verschiedene Möglichkeiten zur Definition von Spannungsvektoren sowie Spannungstensoren diskutiert. Durch die Beschränkung der Betrachtungen auf klassische Punktkontinua, bei denen Wechselwirkungen zwischen materiellen Punkten ausschließlich durch Zentralkräfte erfasst werden, können die kinetischen Größen und Gleichungen wesentlich vereinfacht werden. Notwendige Verallgemeinerungen z.B. für polare Kontinua können der Spezialliteratur [2; 3; 4; 5; 7; 9; 10; 11] entnommen werden. Die Ableitung der statischen Gleichgewichtsbedingungen und der Bewegungsgleichungen für klassische Kontinua bildet den Übergang zu den Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik im nächsten Kapitel. Die Verbindung der kinetischen Größen mit den kinematischen über Konstitutivgleichungen führt auf materialabh ängige Aussagen, die erst im Teil III diskutiert werden.
Holm Altenbach

Kapitel 5. Bilanzgleichungen

Die Bilanzgleichungen beschreiben allgemeingültige Prinzipien bzw. universelle Naturgesetze unabhängig von den speziellen Kontinuumseigenschaften. Sie gelten somit für alle Materialmodelle der Kontinuumsmechanik. Bilanzgleichungen werden zunächst in integraler Form als globale Aussagen für den Gesamtkörper angegeben. Für hinreichend glatte Felder der zu bilanzierenden Größen können aber auch lokale Formulierungen in der Form von Differentialgleichungen, die sich auf einen beliebig kleinen Teil des Körpers beziehen, gewählt werden. Bleibt bei einem zu bilanzierenden Prozess die Bilanzgröße unverändert erhalten, haben Bilanzgleichungen den Charakter von Erhaltungssätzen. Die Bilanzgleichungen werden im vorliegenden Kapitel in folgenden Schritten erarbeitet. Zunächst werden allgemeine Aussagen und allgemeine Strukturen der Gleichungen diskutiert, die Transporttheoreme behandelt und auf Besonderheiten kontinuierlicher Felder mit Sprungrelationen hingewiesen. Danach werden die mechanischen Bilanzgleichungen bzw. Erhaltungssätze für die Masse, den Impuls, den Drehimpuls und die Energie formuliert. Abschließend erfolgt eine Erweiterung der Bilanzgleichungen auf thermodynamische Probleme. Dazu werden zunächst die grundlegenden thermomechanischen Begriffe und Beziehungen definiert. Ausgehend von den Hauptsätzen der Thermodynamik erfolgt dann die Ableitung der erweiterten Energiebilanzen und der Aussagen zur Entropie. Diese insgesamt fünf Bilanzformulierungen bilden die Grundlage der materialunabhängigen Beschreibung der Deformationen von Festkörpern bzw. Strömungen von Fluiden. Alle Erweiterungen auf andere physikalische Felder bleiben unberücksichtigt.
Holm Altenbach

Materialabhängige Gleichungen

Frontmatter

Kapitel 6. Materialverhalten und Konstitutivgleichungen

Die Ermittlung der spezifischen, materialabhängigen Eigenschaften von Kontinua ist eine experimentelle Aufgabe. Die aus experimentellen Untersuchungen abgeleiteten mathematischen Gleichungen haben aber im Allgemeinen nur eine eingeschränkte Gültigkeit. Ein allgemeines theoretisches Konzept zur Begründung einer universellen Konstitutivgleichung existiert nicht. Daher bietet sich folgende Vorgehensweise an:
  • Formulierung plausibler Annahmen für Konstitutivgleichungen,
  • Überprüfen derWiderspruchsfreiheit der Annahmen mit den materialunabhängigen Aussagen der Thermodynamik und
  • Experimentelle Identifikation der konstitutiven Parameter
Alle weiteren Ausführungen beschränken sich auf die ersten beiden Punkte. Ferner werden auch deduktive Methoden der Formulierung von materialspezifischen Gleichungen im Kapitel 7, induktive Methoden im Kapitel 8 erläutert und rheologische Modelle des Konstitutivverhaltens im Kapitel 9 diskutiert.
Holm Altenbach

Kapitel 7. Deduktiv abgeleitete Konstitutivgleichungen

Ausgangspunkt für die deduktive Ableitung der materialabhängigen Gleichungen für ausgewählte Festkörper- oder Fluidmodelle ist die Formulierung allgemeiner Konstitutivgleichungen. Dabei erfolgt eine Beschränkung auf mechanische und thermische Feldgrößen, um die nachfolgenden Ableitungen der Methoden der Materialtheorie nicht zu erschweren. Aus dem gleichen Grund werden im Rahmen der Beispiele auch nur einfache Materialien 1. Grades betrachtet.
Holm Altenbach

Kapitel 8. Induktiv abgeleitete Konstitutivgleichungen

Die deduktive Ableitung von Konstitutivgleichungen ist meist sehr aufwendig, da stets die getroffenen konstitutiven Annahmen mit Hilfe der dissipativen Ungleichung auf ihre physikalische Konsistenz überprüft werden müssen. Daher werden in der Ingenieurpraxis vielfach induktiv formulierte Konstitutivgleichungen eingesetzt. Die Grundidee dieses Konzeptes besteht darin, dass einfachste experimentelle Erfahrungen, die meist in einachsigen Versuchen gewonnen wurden, induktiv verallgemeinert werden. Derartige Modelle werden u.a. für die Beschreibung elastischen und plastischen Materialverhaltens sowie des Materialkriechens eingesetzt. Dabei sei noch einmal besonders hervorgehoben, dass die aus experimentellen Ergebnissen abgeleiteten Materialmodelle nur Idealisierungen des realen Materialverhaltens sein können. Reales Materialverhalten hat stets sowohl elastische als auch inelastische Eigenschaften, die allerdings unterschiedlich ausgeprägt sein können und daher das Materialverhalten signifikant beeinflussen oder vernachlässigt werden. Auch eine Zeit- oder Geschwindigkeitsabhängigkeit ist mit der Verbesserung der Messmethoden immer nachzuweisen. Ihr Einfluss auf das Antwortverhalten von Kontinua kann aber bei vielen realen Materialien vernachlässigt werden. Die induktive Ableitung von Konstitutivgleichungen für vereinfachte idealelastische oder elastisch-plastische Materialmodelle und ihre näherungsweise Einordnung in die Modellklassen rheonome oder skleronome Konstitutivgleichungen hat sich daher besonders für Ingenieuranwendungen bewährt.
Holm Altenbach

Kapitel 9. Methode der rheologischen Modelle

Rheologische Modelle haben eine breite Anwendung in der Kontinuumsmechanik beim Formulieren von Konstitutivgleichungen gefunden. Die Grundidee besteht dabei in einer phänomenologischen Formulierung von Konstitutivgleichungen für Grundmodelle, wobei deren thermodynamische Konsistenz geprüft wird. Auf der Basis der Grundmodelle wird dann reales Materialverhalten durch Zusammenschalten verschiedener Grundmodelle approximiert. Die derart erhaltenen Gleichungen sind gleichfalls thermodynamisch konsistent. Weitere Informationen zu rheologischen Modellen kann man u.a. [2; 4; 5; 6; 7].
Holm Altenbach

Anfangs-Randwertprobleme der Kontinuumsmechanik

Frontmatter

Kapitel 10. Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

In der linearen Elastizitätstheorie gibt es keine Unterscheidung von Lagrange’scher und Euler’scher Darstellung. Die Grundgleichungen werden als Feldgleichungen in Abhängigkeit vom räumlichen Positionsvektor x formuliert. Es gelten generell die linearisierten kinematischen Gleichungen, und es wird hier isotropes Materialverhalten vorausgesetzt. In Anlehnung an die in der Ingenieurliteratur üblichen Bezeichnungen T ≡ σ,A ≡ ε werden der Spannungs- und der Verzerrungstensor mit σ und ε bezeichnet. Es gilt weiterhin x =∇a ≡∇. Ausgangspunkt für die allgemeinen Gleichungen der Thermoelastizität sind die im Abschn. 10.3 formulierten thermoelastischenKonstitutivgleichungen. Die Thermoelastizität betrachtet die innere Energie eines Körpers als Funktion der Deformation und der Temperatur. Deformationen und Temperaturänderungen sind stets miteinander verbunden. Folglich verallgemeinert die Thermoelastizität damit die klassische Theorie der Wärmespannungen, die die Temperaturverteilung in einem Körper mit Hilfe der ungekoppelten Fourier’schen Wärmeleitungsgleichungen ermittelt und dann die Wärmespannungen für ein bekanntes Temperaturfeld angibt, aber auch die klassische Elastodynamik, die Bewegungen stets als adiabat voraussetzt, d.h. Wärmeänderungen laufen so langsam ab, dass sie keine Trägheitskräfte wecken.
Holm Altenbach

Kapitel 11. Grundgleichungen linearer viskoser Fluide

Die für technische Anwendungen wichtigsten Fluidmodelle sind die Newton’schen Fluide und die reibungsfreien Fluide. Zu den Newton’schen Fluiden gehören Wasser, Luft, viele Öle und Gase. Die Viskosität wird dabei als unabhängig von der Fließgeschwindigkeit vorausgesetzt. Ausgangspunkt für die Ableitung der Navier-Stokes-Gleichung für linear-viskose isotrope Fluide und der Euler’schen Gleichungen für reibungsfreie Fluide sind die Konstitutivgleichungen nach Abschn. 7.2.2, die Cauchy-Euler’schen Bewegungsgleichungen oder die Impulsbilanzgleichung sowie die kinematischen Beziehungen zwischen dem Deformationsgeschwindigkeits- und dem Geschwindigkeitsgradienten. Die Ableitungen erfolgen hier für den isothermen Fall.Weiterführende Diskussionen sind u.a. in [1; 2; 3; 4; 5] gegeben.
Holm Altenbach

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