6. Koordinatentransformationen und Wellenleiter

Eine ähnliche Problematik tritt auch auf, wenn man in zwei aneinandergrenzenden Raumteilen die Felder bestimmen will. Wenn man dann ausschließlich die Randbedingungen erfüllt, erhält man in beiden Raumteilen mehrere denkbare Lösungen, die sogenannten Eigenfunktionen. Die Gesamtlösung in jedem Raumteil erhält man dann als Reihendarstellung mit unbekannten Koeffizienten. Die Koeffizienten lassen sich bestimmen, indem man die Stetigkeitsbedingungen zwischen den beiden Raumteilen erfüllt. Eine Methode, mit der man Reihendarstellungen von Feldern an vorgegebene Stetigkeitsbedingungen anpassen kann, besteht beispielsweise darin, dass man die Gültigkeit der Stetigkeitsbedingung nur für endlich viele Punkte fordert (engl.: „point matching method“). Dann kann man die Koeffizienten der – nach endlich vielen Gliedern abgebrochenen – Reihe mithilfe von Gleichungssystemen berechnen. Eine Konvergenz der Reihe erhält man dann in der Regel durch ständiges Erhöhen der Anzahl der Punkte. Eine weitere Methode ist die Methode der Orthogonalreihenentwicklung (engl.: „mode matching method“). Auch hierbei bricht man die Reihendarstellung nach endlich vielen Gliedern ab. Die Koeffizienten findet man dann jedoch durch Ausnutzung einer Orthogonalitätsbeziehung.

In kartesischen Koordinaten hätte der Ansatz \(\Phi=A+Bx+Cy+Dxy\) natürlich auch die Laplacegleichung erfüllt; es wäre jedoch nicht möglich gewesen, die komplizierten Randbedingungen damit zu erfüllen.

Analytische Funktionen nennt man auch holomorph oder regulär.

Der Exponent \(-2\) wurde hinzugefügt, damit die Definition von \(g\) mit der im Vertiefungsband verträglich ist.

Dass die Funktion \(w(z)=z^{2}\) analytisch ist, wird in Anhang A.​10.​1 gezeigt. Wegen \(w^{\prime}(z)\neq 0\) für \(z\neq 0\) handelt es sich bei dieser Funktion – abgesehen vom Koordinatenursprung – um eine konforme Abbildung. Generell wird in Abschn. A.​10 gezeigt, wie man durch Summen- und Produktbildung sowie durch Verkettung aus einfachen analytischen Funktionen kompliziertere generieren kann.

Die Orthogonalität in der \(z\)-Ebene wird in eine Orthogonalität in der \(w\)-Ebene überführt, weil \(w(z)\) eine konforme und damit winkeltreue Abbildung ist.

Man erliegt leicht der Versuchung, alle Wurzeln zu einer gemeinsamen zusammenzufassen, sodass man folgendes Integral erhält: Da \(z\) jeden beliebigen Wert annehmen kann, ist dies jedoch nicht ganz korrekt. Im Allgemeinen darf man nämlich \(\sqrt{z-z_{1}}\sqrt{z-z_{2}}\) nicht gleich \(\sqrt{(z-z_{1})(z-z_{2})}\) setzen. Wenn beispielsweise \(z\) reell ist und \(z<z_{1}\) sowie \(z<z_{2}\) gilt, folgt Das Minuszeichen, das hier durch die Bildung des Hauptwertes entstanden ist, wäre oben offensichtlich unterschlagen worden. Generell sollte man darauf achten, stets nur den Hauptwert zu bilden und beim Übergang in den reellen Bereich das Argument von Wurzeln positiv zu machen (vgl. auch Fußnote 10 in Abschn. 6.5.2).

Hierbei legen wir auch das zuvor unbestimmte Vorzeichen willkürlich fest.

Es gelte \(\omega> 0\), und alle Spannungen und Ströme seien komplexe Amplituden.

Dass sich beim Schritt von (6.98) auf (6.102) das Vorzeichen nicht umdreht, kann man wie folgt zeigen: Wie oben festgestellt wurde, lässt sich für verlustarme Leitungen mit \(\omega L^{\prime}> R^{\prime}\) und \(\omega C^{\prime}> G^{\prime}\) schreiben. Eine Hauptwertbetrachtung liefert also Geht man hingegen vom negativen Wurzelargument aus, so liefert die Hauptwertbetrachtung Die zusätzliche Phase \(\pi\) rührt daher, dass \(-a+jb\) im zweiten Quadranten liegt, die Arkustangensfunktion jedoch nur Winkel des 1. und 4. Quadranten liefert. Zieht man nun die Wurzel, so erhält man dasselbe Ergebnis wie in der Gleichung zuvor. Es gilt somit also wegen (6.98) Eine analoge Rechnung für \(a<0\) führt zu demselben Ergebnis. Bei voreiliger Betrachtung hätte man aus (6.98) den Faktor \(-1\) unter der Wurzel als \(j\) vor die Wurzel gezogen, was einem Vorzeichenfehler entsprochen hätte, wie wir nun sehen. Beim Wurzelziehen von komplexen Zahlen ist also stets etwas Vorsicht angebracht (s. auch Fußnote 7 in Abschn. 6.3.7.2).

Wir verwenden diesen Namen nicht nur für reelle Werte von \(Z_{\mathrm{L}}\), sondern auch für komplexe Werte, obwohl es sich dann streng genommen um eine Impedanz handelt.

Die Phasenkonstante weist natürlich bereits im Idealfall eine Frequenzabhängigkeit gemäß \({\beta=\omega\sqrt{L^{\prime}C^{\prime}}}\) auf; bei realistischen Leitungen treten Abweichungen von diesem linearen Verhalten auf.

Als Tor bezeichnet man die Kombination zweier Pole (Klemmen), von denen einer als Hin- und einer als Rückleiter dient, sodass die Ströme an diesen beiden Polen betragsmäßig gleich groß, aber entgegengesetzt orientiert sind. Eine Leitung ist somit ein spezielles Zweitor bzw. ein spezieller Vierpol.

Der Modul \(k\) darf hier nicht mit der Ausbreitungskonstante verwechselt werden.