Krummlinige Koordinatensysteme

Kartesische Koordinatensysteme haben viele Vorteile und werden zu Recht sehr häufig verwendet. Trotzdem sind sie nicht immer die optimale Wahl. Viele Probleme weisen Symmetrien auf, die den Gebrauch anderer Koordinatensysteme nahelegen. So empfehlen sich Kugelkoordinaten für Systeme mit Rotationssymmetrie: Das Potential eines Zentralfeldes hängt nicht von jeder der kartesischen Koordinaten einzeln ab, sondern nur vom Betrag des Ortsvektors – statt einer Funktion von drei Variablen ist also nur eine von einer Variablen zu analysieren. Weniger Variablen bedeuten weniger Ableitungen und weniger Integrale, also weniger Arbeit und weniger Fehlerquellen. Aus diesem Grund ist die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems der erste und oft entscheidende Schritt bei der Lösung eines konkreten Problems. Der Preis für diese Vereinfachungen sind kompliziertere Ausdrücke für Ableitungen und Integrale in allgemeinen Koordinatensystemen. Ihre Herkunft und genaue Gestalt wird in diesem Kapitel besprochen. Wie zuvor starten wir wieder mit zweidimensionalen Situationen, da diese bereits die wesentlichen Komplikationen zeigen, dabei aber anschaulich und übersichtlich bleiben. Nach einer kurzen Betrachtung des allgemeines Falles krummliniger Koordinaten werden wir uns auf lokal orthogonale Koordinatensysteme beschränken. Spezielle Aufmerksamkeit verdienen Zylinder- und Kugelkoordinaten in drei Dimensionen, da sie sehr häufig in Anwendungen vorkommen.