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Erschienen in:
2020 | OriginalPaper | Buchkapitel
7. Kurven und Flächen, Vektoranalysis
verfasst von : Uller Jarecki
Erschienen in: Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Parameterdarstellung.
Eine ebene Kurve k ist durch ein System aus zwei Gleichungen erklärt: x = x(t) und y = y(t) für t ∈ [a, b], wobei x(t) und y(t) stetige Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] sind. t heißt Kurvenparameter und I Parameterintervall. Beide Gleichungen ordnen jedem Parameterwert t genau einen Punkt oder Ortsvektor der Kurve k zu (Abb. 7.1). Der Durchlaufsinn, mit dem der Punkt \(\boldsymbol{r}(t)\) mit wachsenden Parameterwerten t die Kurve k durchläuft, heißt Orientierung von k, sodass \(\boldsymbol{r}(a)\) den Anfangs- und \(\boldsymbol{r}(b)\) den Endpunkt der Kurve kennzeichnen. Die Kurve k heißt geschlossen, wenn \(\boldsymbol{r}(a)=\boldsymbol{r}(b)\).
$$\begin{aligned}\boldsymbol{r}(t)&=(x(t), y(t))\\{}&=x(t)\boldsymbol{e}_1+y(t)\boldsymbol{e}_2\quad {\text{f\"ur}}\enspace t\in I=[a, b].\end{aligned} $$
Bei einer Substitution des Parameters t gemäß t = φ(τ) für τ ∈ [α, β] und φ(α) = a, φ(β) = b, wobei φ eine streng monoton wachsende Funktion auf [α, β] ist, bleiben Gestalt und Orientierung der Kurve erhalten. heißen dann äquivalente Darstellungen der Kurve k.
$$\begin{gathered}\boldsymbol{r}(t)\quad {\text{f\"ur}}\enspace t\in [a, b]\quad {\text{und}}\\tilde {\boldsymbol{r}}(\tau )=\boldsymbol{r}(\varphi (\tau ))\quad {\text{f\"ur}}\enspace\tau\in [\alpha ,\beta ] \end{gathered}$$