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Erschienen in:
2020 | OriginalPaper | Buchkapitel
7. Längenberechnungen am Dreieck
verfasst von : Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp
Erschienen in: Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Zusammenfassung
Mit Hilfe der Höhe \(h\) wird das rechtwinklige Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt, die ähnlich sind, weil ihre Winkel gleich sind.
Damit verhalten sich die Seiten wie folgt:
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle a:c&\displaystyle=p:a&\displaystyle&\displaystyle(1)\\ \displaystyle b:c&\displaystyle=q:b&\displaystyle&\displaystyle(2)\\ \displaystyle h:p&\displaystyle=q:h&\displaystyle&\displaystyle(3)\end{aligned}\end{gathered}$$
Diese drei Verhältnisgleichungen sind bekannt geworden als
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\textbf{Kathetensatz:}&\displaystyle&\displaystyle a^{2}=p\cdot c&\displaystyle&\displaystyle({1}^{\prime})\\ \displaystyle&\displaystyle&\displaystyle&\displaystyle b^{2}=c\cdot q&\displaystyle&\displaystyle({2}^{\prime})\\ \displaystyle&\displaystyle\textbf{H{\"o}hensatz:}&\displaystyle&\displaystyle h^{2}=p\cdot q&\displaystyle&\displaystyle({3}^{\prime})\end{aligned}\end{gathered}$$
Addiert man die beiden Gleichungen \(({1}^{\prime})\) und \(({2}^{\prime})\), so erhält man Diese Gleichung ist bekannt als
$$\begin{gathered}\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\cdot p+c\cdot q=c\cdot\underbrace{({p+q})}_{c}.\end{gathered}$$
$$\begin{gathered}\displaystyle\textbf{Satz des Pythagoras:}\quad\boldsymbol{a^{2}+b^{2}=c^{2}}\end{gathered}$$