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2022 | Buch

Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation

Grundlagen und Anwendungen zu Elektrotechnik, Informatik, Kommunikations- und Regelungstechnik

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Über dieses Buch

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Theorie und praktische Handhabung der Laplace-, Fourier- und z-Transformation, die in vielen Fachgebieten wie der Elektrotechnik , Informations- und Kommunikationstechnik, Mechatronik, Regelungstechnik etc. eine wichtige Rolle spielen. Zahlreiche Beispiele und Anwendungen zeigen den richtigen Umgang mit den Transformationen. Die Erläuterungen werden vielfach durch graphische Darstellungen veranschaulicht. Das Ziel des Buches ist es, eigene Problemstellungen mit den gezeigten Methoden erfolgreich angehen zu können. Die didaktische Aufbereitung des Lehrstoffes im Buch sichert einen nachhaltigen Lernerfolg .

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Analoge Transformationen

Frontmatter
1. Fourier-Reihe (FR)
Zusammenfassung
Periodische Funktionen und Signale können als Überlagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt werden. Deren Frequenzen müssen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz des periodischen Signals sein. Die Methode mit der man die entsprechenden Schwingungsanteile aufsummiert ist die Fourier-Reihe. Die Koeffizienten dieser Summe ergeben ein Linienspektrum, aus dem hervorgeht, aus welchen Frequenzanteilen sich das Zeitsignal zusammensetzt.
Helmut Ulrich, Stephan Ulrich
2. Fourier-Transformation (FT)
Zusammenfassung
Auf nichtperiodische Funktionen kann die Fourier-Reihe nicht angewendet werden. Dazu wird die Fourier-Transformation benötigt, mit der die Fourier-Reihe in eine Integraldarstellung überführt wird. Aus dem diskreten Linienspektrum der Fourier-Reihe entsteht ein kontinuierliches Spektrum, das als Fourier-Spektrum bezeichnet wird. Mit der Zerlegung in den Amplituden- und Phasengang liefert diese Transformation die Voraussetzung für eine Frequenzanalyse beliebiger, analoger Signale. Ein weiterer Aspekt, der aus dem Spektrum abgeleitet werden kann, ist das Zeit-Bandbreite Produkt. Dieses ist bei der Signalübertragung in der Kommunikationstechnik von besonderer Bedeutung.
Helmut Ulrich, Stephan Ulrich
3. Laplace-Transformation (LT)
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Laplace-Transformation ausführlich behandelt. Diese Transformation wird sich bei der Lösung von Problemen linearer Systeme als sehr vorteilhaft erweisen. Zur praktischen Handhabung der Methode wird eine Reihe von Sätzen und Regeln besprochen, mit deren Hilfe Berechnungen wesentlich vereinfacht durchgeführt werden können. Bei linearen Systemen, z. B. einem RCL-Netzwerk, führt die Laplace-Transformation in den sog. Bildbereich, in dem Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen übergehen, die wesentlich einfacher zu lösen sind. Das Ergebnis wird mit der inversen Laplace-Transformation, der sog. Rücktransformation, wieder in den ursprünglichen Bereich überführt, womit die Lösung gefunden ist.
Mit der Laplace-Transformation werden auch Konvergenzprobleme, wie sie bei der Fourier-Transformation bei unstetigen Funktionen auftreten, beispielsweise der Rechteckfunktion an den Sprungstellen, beseitigt.
Helmut Ulrich, Stephan Ulrich
4. Anwendungen der Laplace-Transformation

In diesem Kapitel werden lineare Netzwerke mit Hilfe der Laplace-Transformation berechnet und grundlegende Begriffe, wie Übertragungsfunktion, Frequenzgang und Impulsantwort hergeleitet. Neben dem Input- /Outputverhalten eines Systems, kann auch eine Aussage zur Systemstabilität erhalten werden. Ein wichtiges Entscheidungskriterium für die Funktionalität eines Systems. Die angeführten Beispiele und Aufgaben beziehen sich vorwiegend auf das Übertragungsverhalten von RCL-Netzwerken, die in Elektrotechnik und Informatik weit verbreitet sind.

Ein großer Vorteil der Laplace-Transformation besteht darin, dass Differentialgleichungen, die ein lineares System beschreiben, in algebraische Gleichungen überführt werden, die wesentlich einfacher zu lösen sind. Es ist jedoch auch umgekehrt möglich, aus einer gegebenen Übertragungsfunktion, die Netzwerk-Differentialgleichung zu bestimmen.

Im letzten Teil dieses Kapitels wird gezeigt, wie auch lineare, partielle Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation gelöst werden können.

Helmut Ulrich, Stephan Ulrich
5. Zusammenschaltung von LTI-Systemen
Zusammenfassung
Die Zusammenschaltung von linearen Teilsystemen zu einem Gesamtsystem gehört zu den Grundlagen der Systemtheorie. Durch Kombination von Teilsystemen lassen sich beliebige, komplexe Strukturen aufbauen und mit Hilfe der Laplace-Transformation elegant berechnen. Vor allem die rückgekoppelten Systeme machen deutlich, dass ein System mehr ist als die Summe seiner Teile. Mit Blockdiagrammen lässt sich der Signalfluss zwischen den Teilsystemen direkt veranschaulichen. Auch sind damit Informationen über die innere Struktur des Systems verbunden. Durch Anwendung der Signal- bzw. Systemanalyse kann die beschreibende Netzwerkgleichung abgeleitet werden. In gleicher Weise kann auch umgekehrt von einer Netzwerkgleichung, ein Blockdiagramm entworfen werden.
Helmut Ulrich, Stephan Ulrich

Diskrete Transformationen

Frontmatter
6. Diskrete Fourier Transformation (DFT)
Zusammenfassung
Bei der Verarbeitung von Signalen, z. B. bei Sprach- oder Musikaufnahmen, ist oft nicht der gesamte Verlauf des Signals von Interesse, sondern nur diskrete Werte in bestimmten Abständen des Signals. Statt eines kontinuierlichen Verlaufs liegt durch Abtastung nur eine fortlaufende Folge von Zahlen vor. Dadurch wird die digitale Bearbeitung und Speicherung von analogen Signalen ermöglicht.
Für die Verarbeitung diskreter Zahlenfolgen ist die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und deren Inverse, die IDFT, hervorragend geeignet. Vor allem steht mit dem schnellen Algorithmus der Fast Fourier Transform (FFT) ein ideales Werkzeugt für zahlreiche Anwendungen zur Verfügung. Neben den Eigenschaften der DFT werden auch die erhaltenen Spektren eingehend diskutiert und ein Verständnis für die Interpretation der Frequenzen vermittelt. Das ermöglicht wertvolle Einblicke bei der Analyse der verarbeiteten Daten.
Helmut Ulrich, Stephan Ulrich
7. Die z-Transformation (ZT)
Zusammenfassung
Die z-Transformation ist eine Methode zur Lösung von linearen Differenzengleichungen und zur Beschreibung diskreter Signale und Systeme. In diesem Bereich ist die z-Transformation ebenso leistungsfähig, wie die Laplace-Transformation bei kontinuierlichen Systemen. Wichtige Begriffe wie Übertragungsfunktion, Frequenzgang und Stabilität können mit der z-Transformation auf diskrete Signale und Systeme übertragen werden.
Eine besondere Verwendung der z-Transformation ergibt sich bei der Abtastung und Digitalisierung von analogen Zeitsignalen. Durch Abtastung entsteht aus einem kontinuierlichen Signalverlauf eine fortlaufende Folge diskreter Funktionswerte. Diese können mit der z-Transformation auf elegante Weise verarbeitet werden.
Helmut Ulrich, Stephan Ulrich
8. Anhang
Zusammenfassung
Die Lösungen zu den Aufgaben in den sämtlichen Kapiteln des Buches sind hier zusammen gestellt. Nach dem Durcharbeiten der einzelnen Kapitel, sollten die Lösungen leicht nachvollzogen werden können. Wo es zur Erläuterung nötig erschien, oder dem Verständnis dienlich war, wurden grafische Darstellungen mit eingefügt.
Helmut Ulrich, Stephan Ulrich
Backmatter
Metadaten
Titel
Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation
verfasst von
Helmut Ulrich
Stephan Ulrich
Copyright-Jahr
2022
Electronic ISBN
978-3-658-31877-2
Print ISBN
978-3-658-31876-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-31877-2