Lebensversicherungsmathematik

Wir schauen uns zunächst den Aufbau des Buches an und erhalten Hinweise auf weitere, etablierte und nützliche Literaturquellen.

Gast-Autor Dr. Zoran Nikolić beschreibt, warum es sinnvoll und notwendig ist, Versicherungsbestände mit Hilfe eines stochastischen Cash-Flow-Projektionsmodells zu bewerten und erläutert überblicksartig die Bestandteile eines solchen Modells.

Was ist Versicherung bzw. eine Versicherung, und welche Arten von Versicherungen gibt es überhaupt? Zur Beantwortung dieser weit gefassten Fragestellungen schauen wir uns zunächst grundlegende Begriffe an, beleuchten die sowohl für Versicherungsunternehmen als auch für Versicherungsverträge relevanten Gesetze und werfen einen Blick auf die historische Entwicklung der Lebensversicherung. Anschließend machen wir uns mit den Rechnungsgrundlagen für die Kalkulation von Versicherungsprodukten vertraut und lernen die gängigen Standard-Produkte ausführlich kennen. Wir schließen mit einem Blick auf die versicherungsmathematische Notation, so dass wir am Ende ein Grundverständnis sowie eine einheitliche, sprachliche Basis für die weitere Lektüre gelegt haben.

Auf geht’s in medias res. Wir lernen die erste der drei Rechnungsgrundlagen, nämlich den Zins, ausführlich kennen. Dieser ist zudem die wesentliche Grundlage zur Bewertung von Zahlungsströmen. Für die bekanntesten Zahlungsmuster leiten wir Barwerte her. Da die Lebensversicherungsmathematik auf der Finanzmathematik basiert, wird hier die Basis für die nachfolgenden Kapitel gelegt. Abschließend erfahren wir, was der Begriff des Rechnungszinses einer Versicherung bedeutet.

Die Biometrie, als zweite der drei Rechnungsgrundlagen, umfasst jegliche Art von Risiken, denen ein Individuum ausgesetzt ist, sei es Tod, Berufsunfähigkeit, Heirat oder Pensionierung. Hier beschränken wir uns zunächst auf das Sterblichkeitsrisiko. Weitere Risiken werden in späteren Kapiteln behandelt. Ausgehend von der zukünftigen Lebensdauer eines Individuums werden Sterbewahrscheinlichkeiten definiert und die gängigen Funktionen von Sterbetafeln abgeleitet.

Wir verknüpfen nun unsere Erkenntnisse über beiden Rechnungsgrundlagen Zins und Biometrie und leiten unter Ausnutzung des Konstrukts der Kommutationszahlen Leistungsbarwerte für verschiedene Versicherungsprodukte her. Dabei handelt es sich präzise ausgedrückt um erwartete Barwerte, da nicht gewiss ist, ob und wann die Versicherungsleistung zu zahlen ist. Barwerte von Rentenleistungen werden später auch als Prämienbarwerte verwendet. Da Lebensversicherer eine Vielzahl von Deckungen anbieten, beschränken wir uns auf die Produktarten mit der größten Relevanz.

Hier betrachten wir die mit einem Versicherungsvertrag verbundenen Kosten und somit – nach Zins und Biometrie – die letzte der drei Rechnungsgrundlagen. Jene werden kalkulatorisch in Kosten für den Abschluss sowie die Verwaltung von Versicherungsverträgen unterteilt und in ein Kostenmodell eingebettet. Diese kalkulierten Kosten wiederum dienen zur Deckung der tatsächlich entstehenden Kosten, welche für die Entwicklung von Versicherungsprodukten, den Verkauf und die Verwaltung der Policen anfallen, also insbesondere Provisionen und Aufwände im Zusammenhang mit Geschäftsvorfällen.

Die Prämie ist der Preis, den eine Person dafür zu zahlen hat, dass sie das Risiko von Tod und/oder Überleben auf das Versicherungsunternehmen überträgt. Die Kenntnis der elementaren Rechnungsgrundlagen versetzt uns nun in die Lage, auf Basis des Äquivalenzprinzips Prämien für verschiedene Produktarten zu bestimmen. Dabei werden wir sehen, dass es, nicht nur in Abhängigkeit von der Prämienzahlweise, verschiedene Arten von Prämien gibt und dass deren Höhe während der Prämienzahlungsdauer nicht notwendigerweise konstant sein muss.

Die Prämie, die wir zuvor kalkuliert haben, dient einerseits zur Deckung der im jeweiligen Versicherungsjahr entstehenden Aufwände für die Verwaltung und Risikotragung. Andererseits werden Teile der eingenommenen Prämien vom Versicherungsunternehmen beiseitegelegt und dazu verwendet, das sog. Deckungskapital aufzubauen. Aus dieser Reserve werden im Verlauf eines Vertrags die zugesagten Leistungen und kalkulatorisch anfallenden Kosten beglichen. Erneut auf Basis des Äquivalenzprinzips werden wir sehen, wie das Deckungskapital ermittelt und rekursiv fortgeschrieben werden kann und wie sich die Prämie in die erwähnten Bestandteile zerlegen lässt. Dass es Situationen gibt, in denen ein Versicherer gezwungen ist, zusätzliche Reserven zu bilden, schauen wir uns anhand der Nachreservierungsbedarfe aufgrund von Biometrie und/oder Zins an.

Die vorsichtige Kalkulation von Prämien und deren Anlage am Kapitalmarkt führen dazu, dass das Versicherungsunternehmen planmäßig Gewinne erwirtschaftet. Da diese mit dem Geld der Versicherungsnehmer erzielt werden, sind sie per Gesetz an den entstandenen Gewinnen zu beteiligen. Mit Hilfe der Kontributionsformel werden wir die einzelnen Gewinnquellen nachvollziehen (Gewinnentstehung) und verschiedene Arten kennenlernen, wie die anteiligen Gewinne den Versicherungsnehmern wieder zugutekommen können (Gewinnverwendung).

Lebensversicherungsverträge laufen nicht selten über eine Dauer von vielen Jahren. Sofern sich die familiäre oder finanzielle Situation des Kunden im Laufe der Zeit ändert, kann sich dies auch auf seinen Vertrag auswirken, indem etwa die Einstellung der Prämienzahlung verlangt oder der Vertrag sogar ganz gekündigt wird. Wir schauen uns an, wie sich verschiedene Änderungen am Vertrag auf die Prämie und das Deckungskapital auswirken, und welche Leistungen der Kunde bei bestimmten Geschäftsvorfällen garantiert erhält.

Alle bisherigen Ausführungen gingen davon aus, dass eine einzelne Person dem Sterblichkeitsrisiko ausgesetzt ist. Insbesondere im Bereich der betrieblichen Altersversorgung kommt es jedoch häufig vor, dass zwei oder auch mehr Personen unter Risiko stehen, was als verbundene Leben bezeichnet wird. Wir beschränken uns hier auf den Spezialfall von zwei verbundenen Leben und leiten Leistungsbarwerte sowohl für einseitige als auch Hinterbliebenenrenten-Versicherungen her. Exemplarisch wird auch die Prämien- und Deckungskapitalberechnung für einen derartigen Tarif nachvollzogen.

Fondsgebundene Versicherungen sind aus dem Produktportfolio deutscher Lebensversicherer nicht mehr wegzudenken. Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten, konventionellen Produktarten, bei denen die Prämien und auch das Deckungskapital „sicher“ angelegt sind, werden die Prämien und die Reserve (teilweise) in Fonds investiert, was grundsätzlich zur Folge hat, dass die Höhe der Leistungen an den Versicherungsnehmer aufgrund der nicht vorhersehbaren Fondsentwicklung ungewiss ist. Durch Nutzung von Absicherungs-Mechanismen wird das Risiko eines Kapitalverlusts reduziert. Wir erhalten einen Überblick über die gängigen Produktvarianten und werden die besondere Notation im Kontext derartiger Tarife kennenlernen. Den Schwerpunkt dieses Kapitels bildet die Ermittlung bzw. Fortschreibung von Reserven für rein fondsgebundene und hybride Produkte. Dabei wird auch ausführlich auf Umschichtungsalgorithmen für dynamische Hybridprodukte mit zwei oder drei Töpfen eingegangen.

Berufsunfähigkeitsversicherungen sind bei den meisten Lebensversicherern ebenfalls fester Bestandteil der angebotenen Produktpalette. Bei dieser Produktart steht – anders als bisher – nicht allein das Sterblichkeitsrisiko im Fokus, sondern vorrangig das Risiko, dass die versicherte Person invalide wird, d.h. durch ein Schadenereignis nicht mehr in der Lage ist, ein Arbeitseinkommen zu erzielen. In der Versicherungstechnik führt dies dazu, dass eine Person nun unter zwei konkurrierenden Risiken steht (nämlich zu sterben oder invalide zu werden). Wir werden sehen, wie sich dies auf die Ermittlung von Leistungsbarwerten, Prämien und Reserven derartiger Versicherungen auswirkt. Auch auf die Spezifika bzgl. der Überschussbeteiligung und der Garantiewerte werden wir eingehen.

Pflegeversicherungen decken das Risiko ab, dass eine versicherte Person pflegebedürftig wird, d.h. je nach Schweregrad der Pflegebedürftigkeit nur eingeschränkt oder gar nicht mehr in der Lage ist, die Aktivitäten des täglichen Lebens zu bewältigen. Wir werden sowohl die Ähnlichkeiten als auch die Unterschiede zu Berufsunfähigkeitsversicherungen kennenlernen. Nach der einführenden Darstellung der entsprechenden Rechnungsgrundlagen leiten wir die daraus resultierenden Leistungsbarwerte her und werden die Berechnung von Prämie und Deckungskapital nachvollziehen.

Lebensversicherer schließen eine große Anzahl von Verträgen mit ähnlichen biometrischen Risiken ab, wodurch sich mit zunehmender Bestandsgröße Ausgleichseffekte zwischen diesen Risiken ergeben und dadurch zufällige Schwankungen in der Schadenverteilung reduziert werden (Risikoausgleich im Kollektiv). Rückversicherung beschreibt nun den Vorgang, dass ein Lebensversicherer einen Teil der von ihm übernommenen Risiken an ein anderes Versicherungsunternehmen weitergibt. Der Grund dafür ist, dass der tatsächliche Aufwand für Schäden bzw. Leistungen vom erwarteten Aufwand abweichen kann und dadurch das versicherungstechnische Risiko zu groß für den Erstversicherer wird. Rückversicherung kann aber auch aus anderen Gründen in Anspruch genommen werden. Wir werden kurz auf die Funktionen von Rückversicherung eingehen und anschließend die unterschiedlichen Ausprägungen von proportionalen und nicht-proportionalen Rückversicherungsverträgen kennenlernen. Ebenso erhalten wir einen Einblick in die Berechnung von Rückversicherungsprämien auf Original- oder Risikobasis.

Alle in den vorangehenden Kapiteln beschriebenen, fachlichen Inhalte münden am Ende eines Kalenderjahres auf direkte oder indirekte Weise in die Erstellung des Jahresabschlusses für das Lebensversicherungsunternehmen. Daher schauen wir uns zunächst die Spezifika hinsichtlich Bilanz sowie Gewinn- und Verlustrechnung an. Darüber hinaus werfen wir einen Blick auf die gegenüber der Aufsichtsbehörde bestehenden Anzeige- und Berichtspflichten, wobei ausführlich auf die Befüllung der Nachweisungen eingegangen wird. Versicherungsunternehmen unterliegen jedoch noch weiteren Vorschriften, von denen hier die Solvabilitätsanforderungen gemäß Solvency II erläutert werden. Außerdem erhalten wir einen Einblick in die internationalen Rechnungslegungsstandards von IFRS17.

Zum Abschluss schlagen wir eine Brücke zum einleitenden Gast-Kapitel „Einordnung“, indem auf einer allgemeinen Ebene dargestellt wird, wie das Formelwerk aus dem Buch im Rahmen eines (passivseitigen) Projektionsmodells umgesetzt werden könnte. Dabei liegt der Fokus auf der strukturellen Implementierung. IT-bezogene Aspekte wie etwa die Auswahl einer geeigneten Programmiersprache oder die Ermöglichung paralleler Berechnungen bleiben dabei unberücksichtigt.

Hier sind die aktuell gültigen Sterbetafeln für Versicherungen mit Todes- oder Erlebensfallcharakter sowie die jüngsten Ausscheideordnungen für Berufsunfähigkeitsversicherungen tabelliert. Sofern Kommutationszahlen aufgeführt sind, wurden diese basierend auf einem Beispiel-Zinssatz von 2% p.a. ermittelt.

Hier findet sich eine Übersicht über hilfreiche Formeln, die regelmäßig im Rahmen finanzmathematischer Betrachtungen zur Anwendung kommen. Darüber hinaus werden spezielle, mathematische Verfahren und Funktionen dargestellt, auf welche ebenfalls im Verlauf des Buches immer wieder zurückgegriffen wird.

Da international sowie im Kontext von Projektionsmodellen der aktuarielle Sprachgebrauch eher auf Englisch ausgerichtet ist, finden sich in diesem Kapitel entsprechende Übersetzungen der wesentlichen deutschen Fachtermini.