1. Lecture Notes on Birkhoff Billiards: Dynamics, Integrability and Spectral Rigidity

Ein mathematisches Billard ist ein System, das die Trägheitsbewegung einer Punktemasse innerhalb eines Bereichs mit elastischen Reflexionen an der Grenze beschreibt. Das Studium der damit verbundenen Dynamik ist eng mit den geometrischen Eigenschaften der Domäne (z.B. der Form des Billardtisches) verflochten. Während offensichtlich ist, wie die Form die Dynamik bestimmt, ist eine subtilere und schwierigere Frage, in welchem Ausmaß das Wissen um die Dynamik es einem ermöglicht, die Form der Domäne zu rekonstruieren. Dies führt zu vielen faszinierenden unbeantworteten Fragen und schwierigen Vermutungen, die in den letzten Jahrzehnten im Mittelpunkt aktiver Forschung standen. In diesen Vorlesungen werden wir die wichtigsten dynamischen Eigenschaften des so genannten Birkhoff-Billards beschreiben, mit besonderem Schwerpunkt auf dem Problem der Klassifizierung integrierbarer Billards (auch als Birkhoff-Vermutung bekannt) und der Möglichkeit, dynamische Informationen auf der Billardkarte aus ihrem Längenspektrum (d.h. den Längen ihrer periodischen Umlaufbahnen) und den damit verbundenen spektralen Steifigkeitsphänomenen abzuleiten.