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Über dieses Buch

Dieses „Lern-und Lesebuch“ gibt eine erste Einführung in die grundlegenden Methoden und Ergebnisse der Algebra. Wie in einführenden Vorlesungen üblich, besteht es aus den drei Teilen Gruppen-Ringe-Körper, das sind die tragenden Säulen der Algebra. Höhepunkt im dritten Kapitel ist die klassische Galoistheorie in zeitgemäßer Darstellung, bei der viele der zuvor erzielten Ergebnisse zusammengefügt werden. Neben den üblichen Inhalten enthält das Buch aber auch Exkurse zu weiterführenden Themen, wie Symmetrien Platonischer Körper, quadratische Zahlringe oder Wurzelausdrücke für Einheitswurzel nach der Methode von Gauss. Ein ausführlicher Anhang schildert die Entwicklung der axiomatischen Methode von Euklid bis Bourbaki.

Um Studierende der Algebra behutsam mit den subtilen Methoden und dem engmaschigen Netz von Begriffen vertraut zu machen, werden viele motivierende Vorbemerkungen, zahlreiche charakteristische Beispiele und auch – was in der Algebra nicht sehr üblich ist – mit Bildern zur Illustration von manchen Rechnungen eingefügt. Damit soll erreicht werden, dass die Studierenden neben einer Vorlesung einen Begleittext zur Hand haben, der ihnen nicht nur hilft die Schwierigkeiten zu meistern, sondern auch ein Gefühl für die Klarheit und Schönheit der Algebra vermitteln kann.

Auch ohne den Besuch einer Vorlesung ist das Buch wegen seiner ausführlichen Darstellung für ein Selbststudium gut geeignet. Viele der Beispiele sind als Übungsaufgaben mit Anleitung gestaltet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Gruppen

Zusammenfassung
Gruppen sind grundlegende Strukturen der Algebra, sie haben ihren Ursprung im Studium von Symmetrien aller Art. Zunächst werden die einfachsten Begriffe erklärt und durch Beispiele illustriert: Halbgruppen, Gruppen, Untergruppen, Homomorphismen und Normalteiler. Danach werden zwei elementare Operationen mit Gruppen beschreiben, nämlich Faktorgruppen und verschiedene Arten von Produkten: innere und äußere direkte und semidirekte Produkte. Besonders einfach sind zyklische Gruppen, sie stehen in engem Zusammenhang zu Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen. Erster Höhepunkt ist ein Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen: Sie sind Produkte zyklischer Gruppen. Zur Struktur nicht abelscher Gruppen gibt es nur Teilergebnisse, die aus den Sätzen von SYLOW folgen.
All die verschiedenen Begriffe und Ergebnisse des Kapitels werden durch zahlreiche Beispiele und Bilder mit Leben erfüllt.
Gerd Fischer

2. Ringe

Zusammenfassung
Hier werden die nötigen technischen Vorbereitungen getroffen, um ein zentrales Problem der Algebra behandeln zu können: Existenz und Berechnung der Nullstellen von Polynomen. Grundlegend dafür ist eine Gemeinsamkeit zwischen ganzen Zahlen und Polynomen: Sie bilden einen „Ring“. Analog zu den Normalteilern in Gruppen hat man in Ringen Ideale, mit deren Hilfe neue Ringe konstruiert werden können. Besonders wichtig und delikat ist die Frage der Teilbarkeit von Polynomen. Antworten darauf geben die klassischen Ergebnisse von GAUSS. Auch Fragen der Teilbarkeit von Zahlen werden behandelt. Neben den klassischen Sätzen von EUKLID über Primzahlen werden auch die Verallgemeinerungen von GAUSS in einem Abschnitt über quadratische Zahlkörper beschrieben.
Gerd Fischer

3. Körpererweiterungen

Zusammenfassung
Dies ist das zentrale Kapitel des Buches, in dem die Ergebnisse der vorhergehenden Kapitel verwendet werden, um die Frage der Existenz und Berechenbarkeit der Nullstellen von Polynomen zu klären. Zur Frage der Existenz ist die Methode der Erweiterung eines Grundkörpers entscheidend. Das führt zum Zerfällungskörper eines Polynoms und dem algebraischen Abschluss eines Körpers, damit ist die Existenz geklärt. Um die Berechenbarkeit durch Wurzelausdrücke prüfen zu können, hilft die klassische Galoistheorie. Dabei wird dem Zerfällungskörper eine Gruppe von Automorphismen zugeordnet, die sogenannte „Galoisgruppe“, deren Struktur über die Berechenbarkeit entscheidet. Anwendungen davon gibt es auch bei der Frage der Möglichkeiten von geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Etwa für die Konstruktion von regelmäßigen n-Ecken werden die Ergebnisse von GAUSS beschrieben.
Dieser klassische Teil der Algebra ist erfahrungsgemäß im ersten Anlauf nicht leicht zu durchblicken, da hier ein enges Geflecht von Begriffen und Methoden zum Einsatz kommt. Daher ist dieses Kapitel sehr ausführlich geschrieben und mit vielen Motivationen und vor allem Beispielen sowie – was in der Algebra nicht sehr üblich ist – auch Bildern ausgestattet.
Gerd Fischer

4. Anhang 1 Platonische Körper

Zusammenfassung
In Kapitel 1 wurden die Symmetriegruppen der Platonischen Körper berechnet. Als Ergänzung werden hier analytische Beschreibungen dieser Körper nachgetragen, sowie die Dualität und die Einzigkeit erläutert.
Gerd Fischer

5. Anhang 2 Begriffe und Axiome

Zusammenfassung
Der axiomatische Aufbau der Mathematik ist seit dem 20. Jahrhundert allgemein üblich, in der Algebra ist es besonders deutlich ausgeprägt. Die Entwicklung dieser Methode hat sich über das ganze 19. Jahrhundert erstreckt. Ziel dieses Anhangs ist es, einen kurzen historischen Abriss davon zu geben, und die Folgen zu diskutieren. Die Darstellung wird gestützt durch die Reproduktion zahlreicher Originaldokumente.
Gerd Fischer

Backmatter

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