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2004 | Buch | 13. Auflage

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Lehrbuch der Analysis Teil 2

verfasst von: Harro Heuser

Verlag: Vieweg+Teubner Verlag

Buchreihe : Mathematische Leitfäden

Enthalten in: Professional Book Archive

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Über dieses Buch

Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den selben Grundsätzen gefolgt, die für den ersten bestimmend waren: Ich wollte die Theorie ausführlich und faßlich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele Beispiele und Übungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. Außerdem wollte ich Brücken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fördernde Ineinandergrei fen "blasser" Theorie und "handfester" Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalität und Dynamik verdankt. Und schließlich wollte ich durch eine klare und auch äußerlich leicht erkennbare Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen dafür sorgen, daß der Leser trotz der Fülle des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der Versuch, das Änderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus der Änderung einer Funktion "im Kleinen" ihren Verlauf "im Großen" zu rekon struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Überlegungen Funktionen, de ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel allgemeineren Räumen sind. Dieser Übergang vom Eindimensionalen zum Mehrdi mensionalen entspringt nicht müßiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er wird uns vielmehr sehr nachdrücklich durch die unabweisbaren Bedürfnisse der Pra xis aufgenötigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben für gewöhnlich im Raum und nicht nur auf einer Geraden ab. Die Analysis ist in einer 2500jährigen Entwicklung mühevoll zu dem geworden, was sie heute ist.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

XIV. Banachräume und Banachalgebren

Zusammenfassung

In Satz 103.1 hatte sich die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge als Konvergenz „im Sinne der Supremumsnorm” entpuppt. Den Sätzen bzw. Beweisen der Nr. 103 war demgemäß eine so starke Ähnlichkeit mit den entsprechenden Verhältnissen bei Zahlenfolgen auf die Stirn geschrieben, daß man dazu gedrängt wird, den Kern dieser Analogien freizuschälen. Dieser Kern ist der Begriff des normierten Raumes, der uns der Sache nach schon längst vertraut ist:

Ein linearer Raum E mit Elementen f, g, ... heißt normierter Raum, wenn jedem f∊ E eine reelle Zahl ∥Iƒ∥, die Norm von f, so zugeordnet ist, daß die drei Normaxiome aus A 14.10 gelten:
(N 1)

∥f∥≥0 und ∥f∥=0⇔f=0.

(N 2)

∥αf∥=∣α∣∥f∥ für jede Zahl α1).

(N 3)

∥f+g∥≤∥f∥+∥g∥.

Harro Heuser

XV. Anwendungen

Zusammenfassung

Im Laufe unserer Arbeit haben wir schon zahlreiche spezielle Differentialgleichungen gelöst, die aus naturwissenschaftlichen und technischen Problemen entsprangen. Immer noch fehlt uns aber ein tieferer Einblick in das Verhalten der allgemeinen Differentialgleichung erster oder gar höherer Ordnung. Ausgerüstet mit den mächtigen Methoden der beiden letzten Kapitel können wir diese Lücke nun endlich schließen — und zwar in überraschend bequemer und durchsichtiger Weise. Wir fassen zunächst das Anfangswertproblem

$$y' = f(x,y),\quad y(\xi ) = \eta $$

(117.1)

ins Auge und beweisen, daß es unter gewissen Voraussetzungen über f genau eine Lösung besitzt, d. h., daß genau eine (differenzierbare) Funktion y der Veränderlichen x existiert, für die y′ (x) =f(x, y (x)) und y (ξ) = η ist. Darüber hinaus werden wir sogar sehen, daß man diese Lösung als Grenzwert einer gewissen Funktionenfolge konstruieren kann. Alle auftretenden Funktionen sind reellwertig.

Harro Heuser

XVI. Das Lebesguesche Integral

Zusammenfassung

Der Satz 108.3 über die gliedweise Integration monoton konvergenter Funktionen folgen hinterläßt einen höchst unbefriedigenden Eindruck, weil die Integrierbarkel der Grenzfunktion sich nicht aus den Voraussetzungen ergibt, sondern ausdrücklicl gefordert werden muß. Gleichzeitig weist er aber auch darauf hin, wie dieser Mange in sehr natürlicher Weise durch eine angemessene Verallgemeinerung des Riemann schen Integralbegriffes behoben werden kann. Ist nämlich mit den Bezeichnun gen des Satzes 108.3 die Grenzfunktion f nicht notwendig über [a, bi R-integrier bar, bleibt aber die wachsende Folge der Integrale $\int\limits_a^b {{f_n}dx} $ unterhalb einer festen oberen Schranke (mit anderen Worten: ist sie konvergent), so können wir uns au „Stetigkeitsgründen“ schwerlich der Versuchung erwehren, der Funktion f ein Inte gral durch die Festsetzung

$$\int\limits_a^b {{f_n}dx} : = \lim \int\limits_a^b {{f_n}dx} $$

zuzuordnen. Satz 108.3 lehrt, daß dieses Integral mit dem Riemannschen überein stimmt, falls f überhaupt R-integrierbar ist. Die vorliegende Nummer ist der präzi sen Darstellung und Entfaltung dieses neuen Integralbegriffes gewidmet. Alle auf tretenden Funktionen sind reell.

Harro Heuser

XVII. Fourierreihen

Zusammenfassung

Wir greifen in diesem Abschnitt eines der großen und fruchtbaren Probleme der Mathematik auf, das der Entwicklung der Analysis mächtige Impulse gegeben hat: das Problem der schwingenden Saite. Seine erste tiefergehende Behandlung verdankt man Jean Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783; 66)¹⁾.

Harro Heuser

XVIII. Anwendungen

Zusammenfassung

In Nr. 132 hatten wir gesehen, daß die Bewegungen einer Saite, die in den Punkten x = 0 und x = ππ der x-Achse eingespannt ist und zur Zeit t = 0 im Punkte x ∈ [0, π] die Anfangslage g (x) und die Anfangsgeschwindigkeit h (x) besitzt, durch die Lösungen u(x, t) der Randwertaufgabe

$$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {\alpha ^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\quad (\alpha \;eine\;positive\;Kons\tan te),} \\ {u(0,t) = u(\pi ,t) = 0\quad f\ddot ur\;alle\;t,} \\ {u(x,0) = g(x),\quad \frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x,0) = h(x)\quad f\ddot ur\;x \in \left[ {0,\pi } \right]} \end{array}} \right\}$$

(144.1)

beschrieben werden. Der Separationsansatz hatte uns dazu geführt, eine Lösung die-ser Aufgabe in der Form

$$u\left( {x,t} \right): = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\quad \sin \quad nx\left( {{A_n}\cos \;\alpha \;n\;t + {B_n}\sin \;\alpha \;n\;t} \right)} $$

(144.2)

zu suchen, wobei die Koeffizienten A_n, B_n so zu wählen sind, daß

$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{A_n}\;\sin \;nx = g\left( x \right)\quad } und\quad \sum\limits_{n = 1}^\infty {\alpha n{B_n}\sin nx = h\left( x \right)\quad f\ddot ur\;x \in \left[ {0,\pi } \right]} $$

(144.3)

ist. Mit den leistungsfähigen Hilfsmitteln des letzten Kapitels können wir nunmehr zeigen, daß wir unter gewissen Voraussetzungen über g und h tatsächlich auf diese Weise die Aufgabe (144.1) lösen können.

Harro Heuser

XIX. Topologische Räume

Zusammenfassung

Ohne uns rücksichtsloser Übertreibung schuldig zu machen, dürfen wir sagen, daß sich im Laufe unserer Arbeit die Konvergenz von Zahlenfolgen und die Stetigkeit von Funktionen als die tragenden Elementarbegriffe der Analysis herauskristallisiert haben. Beide Begriffe wurden mit Hilfe von ε-Umgebungen — also durch Lagebeschreibungen — definiert. Dasselbe gilt für die Konvergenz und Stetigkeit in normierten Räumen, insbesondere also für die Konvergenz einer Folge von p-Vektoren, die gleichmäßige Konvergenz einer Folge beschränkter Funktionen und die Konvergenz der Fourierreihen im quadratischen Mittel. Andere Begriffe, die mit Hilfe von ε-Umgebungen in R oder allgemeiner in normierten Räumen charakterisiert wurden (und sich als unentbehrlich erwiesen haben), sind z. B.: offene, abgeschlossene und kompakte Mengen, isolierte Punkte, innere Punkte und Häufungspunkte.

Harro Heuser

XX. Differentialrechnung im Rp

Zusammenfassung

In diesem Buch haben wir schon mehrmals betont, daß bei der Untersuchung reeller Funktionen f sowohl von theoretischem als auch von praktischem Standpunkt aus die Frage im Vordergrund steht, wie sich die Werte f(x) bei Änderungen des Argu-ments x verhalten. Die entscheidenden und erstaunlich leistungsfähigen Hilfsmittel zur tieferen Diskussion dieser Frage waren die Begriffe der Stetigkeit und vor allem der Differenzierbarkeit. Natürlich wird die Analyse des Änderungsverhaltens auch in der Theorie und Anwendung der Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen eine erstrangige Rolle spielen, und man wird ganz selbstverständlich daran denken, die erfolgreichen und klärenden Fundamentalbegriffe „Stetigkeit“ und „Differen-zierbarkeit“ in angemessener Weise von R nach R^p zu übertragen, um ihnen dort eine neue Karriere zu eröffnen. Für die Stetigkeit haben wir dies und zwar in viel allgemeineren Zusammenhängen bereits in den Nummern 111 bis 113 und in nochmals vertiefter Form in den Nummern 158 und 159 geleistet. Der Differenzier-barkeitsproblematik sind wir bisher ausgewichen. Im vorliegenden Kapitel werden wir nun gerade diese Problematik aufgreifen und dabei zu weitaus tieferen Einsich-ten in das Verhalten der Funktionen von mehreren Veränderlichen kommen als bis-her. Den ersten, vorbereitenden Schritt in das neue Problemfeld tun wir in der fol-genden Nummer. Wir verabreden vorher noch, uns die Vektorräume R^p, R^q, ... immer mit gewissen Normen versehen zu denken; in der Wahl der letzteren sind wir dank des Satzes 153.1 oder auch des Satzes 109.8 völlig frei.

Harro Heuser

XXI. Wegintegrale

Zusammenfassung

Gemäß der in Nr. 161 gegebenen Definition verstehen wir unter einem Weg y im Rp eine stetige Abbildung γ : [a, b] → R^p. Der zu ↦ gehörende Bogen Γ oder genauer Γ_γ ist die Punktmenge {γ(t): t ∈ [a, b]} ¹⁾. Bewegungen von Massenpunkten im R² oder R3 lassen sich durch Wege ∈ beschreiben: ∈ (t) bezeichnet den Ort, an dem sich der Massenpunkt zur Zeit t befindet. Wir beschäftigen uns in dieser Nummer mit der Frage, wie man die Länge des Weges, den ein Massenpunkt in einem gewissen Zeitintervall zurücklegt, angemessen definieren und berechnen kann. Gerade vom Standpunkt der Anwendungen ist die (noch nicht erklärte) Weglänge gewöhnlich interessanter als die (ebenfalls noch nicht erklärte) Länge des zugehörigen Bogens. Ganz grob gesprochen: Wer mit der Bundesbahn auf der linksrheinischen Strecke von Köln nach Mannheim fährt, dann zurück nach Mainz und von dort (über Mannheim) nach Basel, hat denselben Bogen beschrieben wie ein anderer, der „direkt“ von Köln nach Basel reist, der erstere hat aber einen längeren Weg zurückgelegt als der zweite und das ist, was Zeit- und Geldverbrauch anbetrifft, ein nicht unerhebliches Faktum.

Harro Heuser

XXII. Anwendungen

Zusammenfassung

Angenommen, eine beobachtbare Größe y hänge von einer anderen beobachtbaren Größe x in irgendeiner, zunächst noch gar nicht näher bekannten Weise ab. Um sich einen Hinweis über die Art dieser Abhängigkeit zu verschaffen, wird man zu n ≥ 2 verschiedenen Werten x₁, ... , x_n die zugehörigen y-Werte y₁, ... , y_n messen und die zusammengehörigen Meßdaten x_k, y_k als Punkte in einer x y-Ebene eintragen. Ergibt sich dabei eine Konfiguration wie in Fig. 188.1, so wird man vermuten, daß die Meßpunkte „eigentlich“ auf einer Geraden (wie etwa der eingezeichneten) liegen müßten — wenn sie nicht mit den unvermeidlichen Beobachtungsfehlern behaftet wären. Und nun entsteht natürlich das Problem, auf systematische und vernünftige Weise eine Gerade zu finden, die sich am besten den Meßdaten „anpaßt“, also eine Gerade, welche die Tatsache berücksichtigt, daß die Meßdaten mit Fehlern behaftet sind, die irgendwie „ausgeglichen“ werden müssen. Es ist naheliegend, eine solche „Ausgleichsgerade“ durch die sogenannte Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen: Man setzt die Gleichung der gesuchten Geraden (analytisch gesprochen: den funktionalen Zusammenhang zwischen x und y) in der Form y = a + bx an.

Harro Heuser

XXIII. Mehrfache R-Integrale

Zusammenfassung

Im Laufe unserer bisherigen Arbeit haben wir schon zahlreiche Integralbegriffe defi-niert, untersucht und mit Gewinn eingesetzt. Es fehlt uns aber noch der Begriff des Integrais einer reellwertigen Funktion von mehreren reellen Veränderlichen. Wir wollen uns zunächst davon überzeugen, daß ganz naheliegende Probleme uns dazu drängen, die Idee eines solchen Integrais zu entwickeln. Dabei werden wir sehr einfache Situationen betrachten, und unsere Überlegungen werden heuristischer Art sein, auf mathematische Strenge also keinen Anspruch erheben. Aile auftretenden Funktionen sollen reellwertig sein.

Harro Heuser

XXIV. Integralsätze

Zusammenfassung

Nach dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist für eine R-integrierbare Ableitung F’ stets

$$\int\limits_a^b {F'} dx = F(b) - F(a)$$

Man kann also, locker formuliert, das Integral von F’ durch Randwerte von F ausdrükken. Im vorliegenden Kapitel geht es darum, diesen Sachverhalt in angemessener Weise auf höhere Dimensionen zu übertragen. Wir werden zu diesem Zweck zunächst in den Nummern 207 bis 210 die klassischen Integralsätze von Gauß und Stokes behandeln und dann in den Nummern 211 bis 217 mit Hilfe der Theorie der Differentialformen sehen, daß diese Sätze und der erste Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aus ein und derselben Quelle fließen. Diese Quelle ist der allgemeine Stokessche Satz 216.2. Er lehrt, wiederum sehr locker gesagt, daß man das Integral über die Ableitung (genauer: über das äußere Differential) einer Differentialform ω durch ein Integral über die Randwerte von ω ausdrücken kann. Dieser Stokessche Satz erweist sich als die „angemessene Übertragung“ des ersten Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung auf höhere Dimensionen, von der wir eingangs gesprochen haben.

Harro Heuser

XXV. Anwendungen

Zusammenfassung

Eine Flüssigkeit möge sich in einem gewissen Raumbereich bewegen (strömen), und zwar so, daß ein Flüssigkeitspartikel beim Durchgang durch den Punkt (x, y, z) dort eine nur von diesem Punkt, nicht von der Zeit abhängige (vektorielle) Geschwindigkeit V(x, y, z) besitzt¹⁾. Eine solche Strömung nennt man stationär, und V heißt ihr Geschwindigkeitsfeld.

Harro Heuser

XXVI. Mehrfache L-Integrale

Zusammenfassung

Es macht nicht die geringste Mühe, die Untersuchungen des Kapitels XVI über das Lebesguesche Integral auf reellwertige Funktionen auszudehnen, die auf einem völlig beliebigen Intervall I des R^p definiert sind. In der Tat sind die anzustellenden Überlegungen den damals durchgeführten so ähnlich, daß wir uns ohne Bedenken mit knappen Andeutungen begnügen dürfen.

Harro Heuser

XXVII. Die Fixpunktsätze von Brouwer, Schauder und Kakutani

Zusammenfassung

Im Laufe unserer Untersuchungen haben wir uns schon mehrfach davon überzeugen können, daß zahlreiche Probleme, die „rein mathematisch“ entstehen oder von den Anwendungen an uns herangetragen werden, auf die Frage hinauslaufen, ob eine vorgelegte Selbstabbildung f einer gewissen Menge X einen Fixpunkt besitzt, d. h., ob es in X ein Element x̃mit f(x̃) = x̃ gibt. Dieser Frage haben wir uns schon sehr frühzeitig gestellt, nämlich in der Nr. 35, wo wir uns mit den Fixpunktsätzen 35.1, 35.2 und 35.4 auseinandergesetzt haben. Den „Kontraktionssatz“ 35.2 konnten wir geradezu spielend leicht zu dem ungewöhnlich kraftvollen und geschmeidigen Banachschen Fixpunktsatz 111.11 verallgemeinern. Dagegen ist der Versuch, den „allgemeinen Fixpunktsatz“ 35.4 aus der provinziellen Enge des Eindimensionalen herauszulösen, mit Schwierigkeiten von ganz anderen Größenordnungen befrachtet. Gerade diesen Versuch aber wollen wir im vorliegenden Kapitel unternehmen. Die Frucht unserer Arbeit wird ein Arsenal von tiefliegenden und leistungsstarken Fixpunktsätzen sein, die gleichsam als fliegende Feuerwehr in den allerverschiedensten Gebieten der Mathematik und der Anwendungen eingesetzt werden können. Der entscheidende und beweistechnisch schwierigste Satz ist hierbei der berühmte Brouwersche Fixpunktsatz, den wir nun in Angriff nehmen.

Harro Heuser

XXVIII. Anwendungen

Zusammenfassung

In dieser Nummer werden wir mit Hilfe des zweiten Schauderschen Fixpunktsatzes 230.4 einen neuen und ganz überraschend durchsichtigen Beweis des Peanoschen Existenzsatzes 119.2 geben.

Harro Heuser

XXIX. Ein historischer tour d’horizon

Zusammenfassung

Am Anfang unserer Erzählung steht eine priesterliche Gestalt, deren schwankende Umrisse wir nur wie durch Nebel und Weihrauch wahrzunehmen vermögen. Pythagoras (570?-497? v. Chr.; 73?) wurde auf Samos geboren, einer jener ionischen Inseln, auf denen soviel Geist zur Welt gekommen ist. Griechische Neugier und Reiselust trieben ihn in die Fremde, und auf langen Wanderungen sog er sich voll mit der alten Weisheit Ägyptens und Babylons. Der Vierzigjährige gründete in dem unteritalienischen Kroton eine Schule, die man sich eher als eine religiöse Lebensgemeinschaft denn als eine Lehranstalt zu denken hat. Er muß etwas unendlich Ehrfurchtgebietendes und geradezu Heiligmäßiges an sich gehabt haben. Seine Anhänger konnten nicht immer deutlich zwischen ihm und dem Gott Apoll unterscheiden, und auch dem Pythagoras selbst scheint dies mit den Jahren zunehmend schwerer gefallen zu sein. Hab und Gut war den Pythagoreern gemeinsam, und ebenso gemeinsam war ihnen das Verlangen nach der politischen Herrschaft in Kroton. Diese Herrschbegier ließ die Bruderschaft und ihren Gründer ein böses Ende nehmen. Eines Tages umstellte die demokratische Partei Krotons das Versammlungshaus der Pythagoreer, brannte es nieder und trieb die Anhänger des Wundermannes aus der Stadt. Pythagoras selbst soll auf der Flucht erschlagen worden sein.

Harro Heuser

Statt eines Nachworts

Zusammenfassung

Daß die niedrigste aller Geistestätigkeiten die arithmetische sei, wird dadurch belegt, daß sie die einzige ist, welche auch durch eine Maschine ausgeführt werden kann; wie denn jetzt in England dergleichen Rechenmaschinen bequemlichkeitshalber schon in häufigem Gebrauche sind. — Nun läuft aber alle analysis finitorum et infinitorum im Grunde doch auf Rechnerei zurück. Danach bemesse man den „mathematischen Tief sinn“, über welchen schon Lichtenberg sich lustig macht, indem er sagt: „Die sogenannten Mathematiker von Profession haben sich, auf die Unmündigkeit der übrigen Menschen gestützt, einen Kredit von Tief sinn erworben, der viel Ähnlichkeit mit dem von Heiligkeit hat, den die Theologen für sich haben“.

Harro Heuser

Backmatter

Titel: Lehrbuch der Analysis Teil 2
verfasst von: Harro Heuser
Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
Electronic ISBN: 978-3-663-01407-2
Print ISBN: 978-3-519-62232-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-01407-2

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XIV. Banachräume und Banachalgebren

XV. Anwendungen

XVI. Das Lebesguesche Integral

XVII. Fourierreihen

XVIII. Anwendungen

XIX. Topologische Räume

XX. Differentialrechnung im Rp

XXI. Wegintegrale

XXII. Anwendungen

XXIII. Mehrfache R-Integrale

XXIV. Integralsätze

XXV. Anwendungen

XXVI. Mehrfache L-Integrale

XXVII. Die Fixpunktsätze von Brouwer, Schauder und Kakutani

XXVIII. Anwendungen

XXIX. Ein historischer tour d’horizon

Statt eines Nachworts

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