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Über dieses Buch

Dieses Buch ist der erste Teil eines zweibändigen Werkes über Analysis. Es ist aus Vorlesungen, Übungen und Seminaren erwachsen, die ich mehrfach an den Universitäten Mainz und Karlsruhe gehalten habe, und so angelegt, daß es auch zum Selbststudium dienen kann. Ich widerstehe der Versuchung, dem Studenten, der jetzt dieses Vorwort liest, ausführlich die Themen zu beschreiben, die ihn erwarten; denn dazu müßte ich Worte gebrauchen, die er doch erst nach der Lektüre des Buches verstehen kann - nach der Lektüre aber sollte er selbst wissen, was gespielt worden ist. Den Kenner hingegen wird ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis und ein rasches Durchblättern ausreichend orientieren. Dennoch halte ich es für möglich, anknüpfend an Schulkenntnisse und Alltagser­ fahrung auch dem Anfänger verständlich zu machen, was der rote Faden ist, der dieses Buch durchzieht und in welchem Geist es geschrieben wurde und gelesen werden möchte. Der rote Faden, das ständig aufklingende Leitmotiv und energisch vorwärts­ treibende Hauptproblem ist die Frage, wie man das Änderungsverhalten einer Funktion verstehen, beschreiben und beherrschen kann, schärfer: Welche Be­ griffe eignen sich am besten dazu, die Änderung einer Funktion "im Kleinen" (also bei geringen Änderungen ihrer unabhängigen Variablen) zu erfassen, was kann man über die Funktion "im Großen", über ihren Gesamtverlauf sagen, wenn man Kenntnisse über ihr Verhalten "im Kleinen" hat, geben uns diese Kenntnisse vielleicht sogar die Funktion gänzlich in die Hand ode~ besser: Wie tief müssen diese "lokalen Kenntnisse" gehen, um uns die Funktion "global"

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt möchte ich einige Bemerkungen machen, die dem Leser helfen sollen, sich in dem Buch zurechtzufinden und aus seiner Lektüre einen möglichst großen Gewinn zu ziehen.
Harro Heuser

I. Mengen und Zahlen

Zusammenfassung
Wir müssen es als eine grundlegende Fähigkeit des menschlichen Geistes ansehen, gegebene Objekte gedanklich zu einem Ganzen zusammenfassen zu können. So fassen wir z.B. die Einwohner Hamburgs zu einem Ganzen zusammen, das wir die Bevölkerung Hamburgs nennen; die unter deutscher Flagge fahrenden Handelsschiffe fassen wir zu der deutschen Handelsflotte zusammen, die Apfel in einem Korb zu einem „Korb Äpfel“ usw. Ein solches Ganzes nennen wir eine Menge; die zu einer Menge zusammengefaßten Objekte bilden die Element e dieser Menge. Um auszudrücken, daß a ein Element der Menge M ist, benutzen wir die Bezeichnung aM und sagen auch, a gehöre zu M oder liege in M oder auch M enthalte a. Dagegen bedeutet aM, daß a kein Element von M ist (nicht zu M gehört, nicht in M liegt). Wollen wir mitteilen, daß a und b in M liegen, so schreiben wir kurz a,bM (statt „aM und b ∈ M“). Eine Menge sehen wir als definiert oder gegeben an, wenn wir wissen, aus welchen Elementen sie besteht; dementsprechend nennen wir zwei Mengen M und N gleich und schreiben M=N, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Gibt es jedoch in einer dieser Mengen ein Element, das nicht zu der anderen gehört, so werden die beiden Mengen ungleich oder verschieden genannt, in Zeichen M ≠ N. Schließlich verabreden wir noch, daß nur solche Objekte zu einer Menge M zusammengefaßt werden, die unter sich verschieden sind, daß also kein Element von M mehrfach in M auftritt.
Harro Heuser

II. Funktionen

Zusammenfassung
Dieser zentrale Begriff der Analysis ist das angemessene Mittel, die Abhängigkeit gewisser Größen von anderen zu beschreiben. Orientieren wir uns zunächst an Beispielen; die hierbei auftretenden Größen g und G sind die Konstante der Erdbeschleunigung bzw. die Gravitationskonstante.
Harro Heuser

III. Grenzwerte von Zahlenfolgen

Zusammenfassung
Dieser Begriff ist in seinen mannigfachen Ausprägungen zentral für die Analysis und bestimmt ihren eigentümlichen Charakter. Er wird von nun an alle unsere Betrachtungen beherrschen. Wir untersuchen ihn in diesem Kapitel im Zusammenhang mit Zahlenfolgen und wollen uns zunächst durch einige Probleme auf seine Definition führen lassen.
Harro Heuser

IV. Unendliche Reihen

Zusammenfassung
Die Frage, wie sich eine Investition volkswirtschaftlich auswirkt, hat uns in A 7.14 auf eine Folge geführt, deren Glieder sn im wesentlichen durch
$${{\text{s}}_n}{\text{: = 1 + q + }}{{\text{q}}^2}{\text{ + }} \cdots {\text{ + }}{{\text{q}}^n}\left( {n = 0,1,2, \ldots } \right)$$
gegeben sind. In Nr. 24 haben wir gesehen, daß die Dezimalbruchdarstellung z0, z1z2z3 … der Zahl a bedeutet, daß die Folge mit den Gliedern
$${s_n}: = {z_0} + \frac{{{z_1}}}{{10}} + \frac{{{z_2}}}{{{{10}^2}}} + \cdots + \frac{{{z_n}}}{{{{10}^n}}}\quad \left( {n = 0,1,2, \ldots } \right)$$
konvergiert.
Harro Heuser

V. Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen

Zusammenfassung
Im Verlauf unserer Untersuchungen ist uns schon mehrmals eine Eigenschaft begegnet, die eine Funktion f haben kann (jedoch nicht haben muß), eine Eigenschaft, die sich auch bereits vielfach als nützlich und hilfreich erwiesen hat (s. etwa Nr. 23) und die man kurz so beschreiben kann: aus xnξ folgt stets f(xn) → f(ξ). Eine derartige Funktion nannten wir „stetig“, ohne uns im übrigen mit einer sorgfältigen Definition dieses Begriffes aufzuhalten. Das vorliegende Kapitel hat nun gerade die Aufgabe, „Stetigkeit“ präzis zu erklären und die wertvollen Eigenschaften stetiger Funktionen ans Licht zu ziehen. Wir fassen zunächst die „Stetigkeit in einem Punkt“ ins Auge. Die in diesem Kapitel auttretenden Funktionen sind alle reell.
Harro Heuser

VI. Differenzierbare Funktionen

Zusammenfassung
Wir hatten bereits mehrmals betont, daß es bei der Untersuchung einer Funktion meistens weit weniger darauf ankommt, ihre Werte an vorgegebenen Stellen als vielmehr die Veränderung dieser Werte bei Veränderung des Arguments zu kennen. Mit zwei besonders wichtigen Änderungsmodi — Monotonie und Stetigkeit — haben wir uns schon intensiv beschäftigt. Im vorliegenden Abschnitt nimmt unser Studium der Veränderungsphänomene eine ganz neue und, wie sich zeigen wird, alles Weitere beherrschende Wendung: Wir werden die Änderung der Funktion f in der Nähe der Stelle ξ, also die Differenz f (x)−f(ξ),mit der Änderung der einfachsten nichtkonstanten Funktion, nämlich g(x): = x, vergleichen, d.h., wir werden den sogenannten Differenzenquotienten betrachten und aus seinem Verhalten Rückschlüsse auf f(x) in der Nähe von ξ zu ziehen versuchen.
Harro Heuser

VII. Anwendungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir einen ersten Eindruck von der enormen Leistungsfähigkeit der wenigen bisher bereitgestellten Begriffe und Sätze der Differentialrechnung gewinnen, eine Leistungsfähigkeit, die sich nicht nur im mathematischen, sondern auch — und gerade — im außermathematischen Bereich in schlechterdings stupender Weise auswirkt. Ein Leser, der stärker an der raschen Entwicklung der Theorie als an ihren Anwendungen interessiert ist, sollte auf jeden Fall die Ausführungen über die Hyperbel- und Winkelfunktionen in den Nummern 53 und 57 (einschließlich der zugehörigen Aufgaben) studieren, weil diese Dinge später laufend benötigt werden. Den Satz 55.3 (der nur eine Umformulierung des Satzes 49.3 ist) sollte er zur Kenntnis nehmen. Die Nr. 59 ist auch von großem theoretischen Interesse.
Harro Heuser

VIII. Der Taylorsche Satz und Potenzreihen

Zusammenfassung
In dieser Nummer werden wir eine einfache Beziehung zwischen „höheren Differenzenquotienten“ und höheren Differentialquotienten aufdecken, die uns auf direktem Weg zu einem der wichtigsten Sätze der Analysis, dem Taylorschen Satz, führen wird.
Harro Heuser

IX. Anwendungen

Zusammenfassung
In diesem Buch, insbesondere in seinem Kapitel VII über Anwendungen der Differentialrechnung, sahen wir uns immer wieder vor die Aufgabe gestellt, Gleichungen der Form f(x) = 0 aufzulösen (man erinnere sich etwa an die Bestimmung der Extremalstellen einer Funktion; überhaupt ist das Gleichungsproblem eines der ältesten Probleme der Mathematik, dem jede höhere Zivilisation bereits auf der Stufe ihrer ersten Entfaltung begegnet und das wir denn auch ganz folgerichtig schon bei den Babyloniern um 3000 v. Chr. antreffen). Im Abschnitt 35 hatten wir schon einige Mittel zur Bewältigung von Gleichungen bereitgestellt; insbesondere ist hier der Kontraktionssatz und der Bolzanosche Nullstellensatz zu nennen. Auf dem nunmehr erreichten Entwicklungsstand sind wir in der Lage, ein Verfahren zur (näherungsweisen) Auflösung von Gleichungen vorzustellen und zu begründen, das wegen seiner raschen Konvergenz von eminenter Bedeutung für die Praxis ist und weittragende Verallgemeinerungen gestattet (s. Nr. 189).
Harro Heuser

X. Integration

Zusammenfassung
Schon in der Nr. 49 hatten wir die Frage aufgeworfen, ob man Aussagen über das Änderungsverhalten einer Funktion in einem Intervall I machen kann, wenn man ihre Änderungsrate (also ihre Ableitung) in jedem Punkt von I kennt, ja ob man sie nicht sogar aus ihrer Anderungsrate wiedergewinnen, rekonstruieren kann. Wir stehen also vor dem folgenden Problem: Auf I ist uns eine Funktion f gegeben, von der wir wissen, daß sie die Ableitung einer (zunächst noch unbekannten) Funktion F ist: f = F’ auf I. Gesucht ist F1). Gelingt es uns nun, auf irgendeine Weise eine Stammfunktion F0 zu f auf I zu finden, so gibt es nach Satz 55.3 eine Konstante C, mit der F = F0+ C ist (denn F ist ja selbst eine Stammfunktion zu f auf I). Kennen wir noch den Wert von F an irgendeiner Stelle x0 von I, so muß F(x0)= F0(x0)+C, also C=F(x 0)-F0(x0) und somit F = F0+[F(x0)-F0(x0)] sein. Wir können also in der Tat die Funktion F aus ihrer vorgegebenen Anderungsrate f wiedergewinnen, falls wir eine Stammfunktion zu f bestimmen können und uns überdies ein Funktionswert F(x,) bekannt ist. Rekonstruktionsaufgaben dieser Art haben wir in einigen Fällen auch schon erfolgreich bearbeitet (wir erinnern nur an die Nummern 55 und 56), unserem Vorgehen fehlte es aber gänzlich an Systematik und Methode: Die benötigten Stammfunktionen haben wir, kurz und ehrlich gesagt, nur erraten.
Harro Heuser

XI. Uneigentliche und Riemann-Stieltjessche Integrale

Zusammenfassung
Von den Anwendungen her wird man in ganz natürlicher Weise auf einige Verallgemeinerungen des Riemannschen Integralbegriffs geführt, die wir in diesem Kapitel vorstellen wollen.
Harro Heuser

XII. Anwendungen

Zusammenfassung
Da für alle x∈[0, π/2] stets 0≤sin x≤1 ist, gilt für diese x und für alle kN die Ungleichung sin2k+1 x≤sin2k x≤sin2k-1 x.
Harro Heuser

XIII. Vertauschung von Grenzübergängen. Gleichmäßige und monotone Konvergenz

Zusammenfassung
Als einer der Schlüsselsätze in der Lehre von den Potenzreihen hat sich (via Transformationssatz) der Cauchysche Doppelreihensatz erwiesen, also die Aussage, daß unter gewissen Voraussetzungen \(\sum\limits_{j = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_{jk}}} } \right)} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{j = 0}^\infty {{a_{jk}}} } \right)} \) ist. Mit \({s_{mn}}: = \sum\limits_{j = 0}^m {\sum\limits_{k = 0}^n {{a_{jk}}} } \) können wir sie auch in der Form
$$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;{s_{mn}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \;{s_{mn}}} \right)$$
schreiben, die besonders deutlich ins Auge springen läßt, daß es sich hier um nichts anderes als eine Vertauschung von zwei hintereinander auszuführenden Grenzübergängen handelt1).
Harro Heuser

Backmatter

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