Lehrbuch der Analysis

In Satz 103.1 hatte sich die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge als Konvergenz „im Sinne der Supremumsnorm“ entpuppt. Den Sätzen bzw. Beweisen der Nr. 103 war demgemäß eine so starke Ähnlichkeit mit den entsprechenden Verhältnissen bei Zahlenfolgen auf die Stirn geschrieben, daß man dazu gedrängt wird, den Kern dieser Analogien freizuschälen.

Im Laufe unserer Arbeit haben wir schon zahlreiche spezielle Differentialgleichungen gelöst, die aus naturwissenschaftlichen und technischen Problemen entsprangen. Immer noch fehlt uns aber ein tieferer Einblick in das Verhalten der allgemeinen Differentialgleichung erster oder gar höherer Ordnung. Ausgerüstet mit den mächtigen Methoden der beiden letzten Kapitel können wir diese Lücke nun endlich schließen — und zwar in überraschend bequemer und durchsichtiger Weise. Wir fassen zunächst das Anfangswertproblem ins Auge und beweisen, daß es unter gewissen Voraussetzungen über f genau eine Lösung besitzt, d. h., daß genau eine (differenzierbare) Funktion y der Veränderlichen x existiert, für die y′(x) =f(x, y (x)) und y(ξ)=η ist. Darüber hinaus werden wir sogar sehen, daß man diese Lösung als Grenzwert einer gewissen Funktionenfolge konstruieren kann. Alle auftretenden Funktionen sind reellwertig.

Der Satz 108.3 über die gliedweise Integration monoton konvergenter Funktionen-folgen hinterläßt einen höchst unbefriedigenden Eindruck, weil die Integrierbarkeit der Grenzfunktion sich nicht aus den Voraussetzungen ergibt, sondern ausdrücklich gefordert werden muß. Gleichzeitig weist er aber auch darauf hin, wie dieser Mangel in sehr natürlicher Weise durch eine angemessene Verallgemeinerung des Riemannschen Integralbegriffes behoben werden kann. Ist nämlich — mit den Bezeichnungen des Satzes 108.3 — die Grenzfunktion f nicht notwendig über [a, b] R-integrierbar, bleibt aber die wachsende Folge der Integrale \( \int\limits_b^a {f_n dx} \) unterhalb einer festen oberen Schranke (mit anderen Worten: ist sie konvergent), so können wir uns aus „Stetigkeitsgründen“ schwerlich der Versuchung erwehren, der Funktion f ein Integral durch die Festsetzung zuzuordnen. Satz 108.3 lehrt, daß dieses Integral mit dem Riemannschen übereinstimmt, falls f überhaupt R-integrierbar ist. Die vorliegende Nummer ist der präzisen Darstellung und Entfaltung dieses neuen Integralbegriffes gewidmet. Alle auftretenden Funktionen sind reell.

Wir greifen in diesem Abschnitt eines der großen und fruchtbaren Probleme der Mathematik auf, das der Entwicklung der Analysis mächtige Impulse gegeben hat: das Problem der schwingenden Saite. Seine erste tiefergehende Behandlung verdankt man Jean Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783; 66)¹⁾.

Ohne uns rücksichtsloser Übertreibung schuldig zu machen, dürfen wir sagen, daß sich im Laufe unserer Arbeit die Konvergenz von Zahlenfolgen und die Stetigkeit von Funktionen als die tragenden Elementarbegriffe der Analysis herauskristallisiert haben. Beide Begriffe wurden mit Hilfe von ε-Umgebungen — also durch Lagebeschreibungen — definiert. Dasselbe gilt für die Konvergenz und Stetigkeit in normierten Räumen, insbesondere also für die Konvergenz einer Folge von p-Vektoren, die gleichmäßige Konvergenz einer Folge beschränkter Funktionen und die Konvergenz der Fourierreihen im quadratischen Mittel. Andere Begriffe, die mit Hilfe von ε-Umgebungen in R oder allgemeiner in normierten Räumen charakterisiert wurden (und sich als unentbehrlich erwiesen haben), sind z. B.: offene, abgeschlossene und kompakte Mengen, isolierte Punkte, innere Punkte und Häufungspunkte.

In diesem Buch haben wir schon mehrmals betont, daß bei der Untersuchung reeller Funktionen f sowohl von theoretischem als auch von praktischem Standpunkt aus die Frage im Vordergrund steht, wie sich die Werte f(x) bei Änderungen des Arguments x verhalten. Die entscheidenden und erstaunlich leistungsfähigen Hilfsmittel zur tieferen Diskussion dieser Frage waren die Begriffe der Stetigkeit und vor allem der Differenzierbarkeit. Natürlich wird die Analyse des Änderungsverhaltens auch in der Theorie und Anwendung der Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen eine erstrangige Rolle spielen, und man wird ganz selbstverständlich daran denken, die erfolgreichen und klärenden Fundamentalbegriffe „Stetigkeit“ und „Differenzierbarkeit“ in angemessener Weise von R nach R ^p zu übertragen, um ihnen dort eine neue Karriere zu eröffnen. Für die Stetigkeit haben wir dies — und zwar in viel allgemeineren Zusammenhängen — bereits in den Nummern 111 bis 113 und in nochmals vertiefter Form in den Nummern 158 und 159 geleistet. Der Differenzierbarkeitsproblematik sind wir bisher ausgewichen. Im vorliegenden Kapitel werden wir nun gerade diese Problematik aufgreifen und dabei zu weitaus tieferen Einsichten in das Verhalten der Funktionen von mehreren Veränderlichen kommen als bisher. Den ersten, vorbereitenden Schritt in das neue Problemfeld tun wir in der folgenden Nummer Wir verabreden vorher noch, uns die Vektorräume R ^p , R ^q ,... immer mit gewissen Normen versehen zu denken; in der Wahl der letzteren sind wir dank des Satzes 153.1 oder auch des Satzes 109.8 völlig frei. Wir bezeichnen sie unterschiedslos mit dem einen Symbol ‖·‖. Sollten wir gelegentlich aus irgendwelchen Gründen ganz spezielle Normen bevorzugen, so werden wir dies ausdrücklich sagen.

Gemäß der in Nr. 161 gegebenen Definition verstehen wir unter einem Weg γ im R ^p eine stetige Abbildung γ: [a, b] → R ^p . Der zu γ gehörende Bogen Г oder genauer Г _γ , ist die Punktmenge {γ(t): t ∈ [a, b]}¹⁾. Bewegungen von Massenpunkten im R² oder R³ lassen sich durch Wege γ beschreiben: γ(t) bezeichnet den Ort, an dem sich der Massenpunkt zur Zeit t befindet. Wir beschäftigen uns in dieser Nummer mit der Frage, wie man die Länge des Weges, den ein Massenpunkt in einem gewissen Zeitintervall zurücklegt, angemessen definieren und berechnen kann. Gerade vom Standpunkt der Anwendungen ist die (noch nicht erklärte) Weglänge gewöhnlich interessanter als die (ebenfalls noch nicht erklärte) Länge des zugehörigen Bogens. Ganz grob gesprochen: Wer mit der Bundesbahn auf der linksrheinischen Strecke von Köln nach Mannheim fährt, dann zurück nach Mainz und von dort (über Mannheim) nach Basel, hat denselben Bogen beschrieben wie ein anderer, der „direkt“ von Köln nach Basel reist, der erstere hat aber einen längeren Weg zurückgelegt als der zweite — und das ist, was Zeit- und Geldverbrauch anbetrifft, ein nicht unerhebliches Faktum.

Angenommen, eine beobachtbare Größe y hänge von einer anderen beobachtbaren Größe x in irgendeiner, zunächst noch gar nicht näher bekannten Weise ab. Um sich einen Hinweis über die Art dieser Abhängigkeit zu verschaffen, wird man zu n ≥ 2 verschiedenen Werten x₁,..., x _n die zugehörigen y-Werte y₁,..., y _n messen und die zusammengehörigen Meßdaten x _k , y _k als Punkte in einer x y-Ebene eintragen. Ergibt sich dabei eine Konfiguration wie in Fig. 188.1, so wird man vermuten, daß die Meßpunkte „eigentlich“ auf einer Geraden (wie etwa der eingezeichneten) liegen müßten — wenn sie nicht mit den unvermeidlichen Beobachtungsfehlern behaftet wären. Und nun entsteht natürlich das Problem, auf systematische und vernünftige Weise eine Gerade zu finden, die sich am besten den Meßdaten „anpaßt“, also eine Gerade, welche die Tatsache berücksichtigt, daß die Meßdaten mit Fehlern behaftet sind, die irgendwie „ausgeglichen“ werden müssen.

Nach dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist für eine R-integrierbar Ableitung F′ stets

Eine Flüssigkeit möge sich in einem gewissen Raumbereich bewegen (strömen), und zwar so, daß ein Flüssigkeitspartikel beim Durchgang durch den Punkt (x, y, z) dort eine nur von diesem Punkt, nicht von der Zeit abhängige (vektorielle) Geschwindigkeit V(x, y, z) besitzt¹⁾. Eine solche Strömung nennt man stationär, und V heißt ihr Geschwindigkeitsfeld.

Es macht nicht die geringste Mühe, die Untersuchungen des Kapitels XVI über das Lebesguesche Integral auf reellwertige Funktionen auszudehnen, die auf einem völlig beliebigen Intervall I des R ^p definiert sind. In der Tat sind die anzustellenden Überlegungen den damals durchgeführten so ähnlich, daß wir uns ohne Bedenken mit knappen Andeutungen begnügen dürfen.

Im Laufe unserer Untersuchungen haben wir uns schon mehrfach davon überzeugen können, daß zahlreiche Probleme, die „rein mathematisch“ entstehen oder von den Anwendungen an uns herangetragen werden, auf die Frage hinauslaufen, ob eine vorgelegte Selbstabbildung f einer gewissen Menge X einen Fixpunkt besitzt, d. h., ob es in X ein Element \(\tilde{x}\) mit \(f(\tilde{x})=\tilde{x}\) gibt. Dieser Frage haben wir uns schon sehr frühzeitig gestellt, nämlich in der Nr. 35, wo wir uns mit den Fixpunktsätzen 35.1, 35.2 und 35.4 auseinandergesetzt haben. Den „Kontraktionssatz“ 35.2 konnten wir geradezu spielend leicht zu dem ungewöhnlich kraftvollen und geschmeidigen Banachschen Fixpunktsatz 111.11 verallgemeinern. Dagegen ist der Versuch, den „allgemeinen Fixpunktsatz“ 35.4 aus der provinziellen Enge des Eindimensionalen herauszulösen, mit Schwierigkeiten von ganz anderen Größenordnungen befrachtet. Gerade diesen Versuch aber wollen wir im vorliegenden Kapitel unternehmen. Die Frucht unserer Arbeit wird ein Arsenal von tiefliegenden und leistungsstarken Fixpunktsätzen sein, die gleichsam als fliegende Feuerwehr in den allerverschiedensten Gebieten der Mathematik und der Anwendungen eingesetzt werden können. Der entscheidende und beweistechnisch schwierigste Satz ist hierbei der berühmte Brouwersche Fixpunktsatz, den wir nun in Angriff nehmen.

In dieser Nummer werden wir mit Hilfe des zweiten Schauderschen Fixpunktsatzes 230.4 einen neuen und ganz überraschend durchsichtigen Beweis des Peanoschen Existenzsatzes 119.2 geben.

Am Anfang unserer Erzählung steht eine priesterliche Gestalt, deren schwankende Umrisse wir nur wie durch Nebel und Weihrauch wahrzunehmen vermögen. Pythagoras (570?–497? v. Chr.; 73?) wurde auf Samos geboren, einer jener ionischen Inseln, auf denen soviel Geist zur Welt gekommen ist. Griechische Neugier und Reiselust trieben ihn in die Fremde, und auf langen Wanderungen sog er sich voll mit der alten Weisheit Ägyptens und Babyions. Der Vierzigjährige gründete in dem unteritalienischen Kroton eine Schule, die man sich eher als eine religiöse Lebensgemeinschaft denn als eine Lehranstalt zu denken hat. Er muß etwas unendlich Ehrfurcht-gebietendes und geradezu Heiligmäßiges an sich gehabt haben. Seine Anhänger konnten nicht immer deutlich zwischen ihm und dem Gott Apoll unterscheiden, und auch dem Pythagoras selbst scheint dies mit den Jahren zunehmend schwerer gefallen zu sein. Hab und Gut war den Pythagoreem gemeinsam, und ebenso gemeinsam war ihnen das Verlangen nach der politischen Herrschaft in Kroton. Diese Herrschbegier ließ die Bruderschaft und ihren Gründer ein böses Ende nehmen. Eines Tages umstellte die demokratische Partei Krotons das Versammlungshaus der Pythagoreer, brannte es nieder und trieb die Anhänger des Wundermannes aus der Stadt. Pythagoras selbst soll auf der Flucht erschlagen worden sein.

Daß die niedrigste aller Geistestätigkeiten die arithmetische sei, wird dadurch belegt, daß sie die einzige ist, welche auch durch eine Maschine ausgeführt werden kann; wie denn jetzt in England dergleichen Rechenmaschinen bequemlichkeitshalber schon in häufigem Gebrauche sind. — Nun läuft aber alle analysis finitorum et infinitorum im Grunde doch auf Rechnerei zurück. Danach bemesse man den „mathematischen Tiefsinn“, über welchen schon Lichtenberg sich lustig macht, indem er sagt: „Die sogenannten Mathematiker von Profession haben sich, auf die Unmündigkeit der übrigen Menschen gestützt, einen Kredit von Tiefsinn erworben, der viel Ähnlichkeit mit dem von Heiligkeit hat, den die Theologen für sich haben“.