Lehrerkompetenzen zum Unterrichten mathematischer Modellierung

Die Reflexionskompetenz von Lehrkräften ist ein entscheidendes Merkmal von Lehrerprofessionalität und findet vor allem in den letzten Jahren verstärkt Aufmerksamkeit in der Lehreraus‑ und ‑fortbildung. Innerhalb des Seminars „Modellierungstage“ an der Universität Kassel lag der Fokus auf der Förderung der studentischen Reflexionskompetenz, was den Studierenden expliziert wurde. Das Ziel der im Folgenden dargestellten explorativen Studie lag auf der Analyse der Reflexionskompetenz sowie der Reflexionstiefe von Lehramtsstudierenden nach der Bearbeitung von komplexen Modellierungsaufgaben mit Lernenden im Rahmen der Modellierungstage. Die Ergebnisse von zwölf geschriebenen studentischen Reflexionen zeigen verschiedene Reflexionsniveaus. Ein modifiziertes Modell von Reflexionsniveaus auf der Basis von Hatton & Smith’ Modell war ein weiteres Resultat der Studie.

In der COACTIV‐Studie 2003/04 wurden Mathematiklehrkräfte deutscher Sekundarschulen im Verbund mit ihren PISA‐Klassen umfangreich befragt und getestet. Im vorliegenden Beitrag fokussieren wir auf verschiedene Aspekte des Modellierens, die im Rahmen dieser Studie aus verschiedenen Perspektiven (Lehrkräfte, Schüler, externe Rater) beurteilt wurden. Es werden Gemeinsamkeiten und Unterschiede der verschiedenen Perspektiven beleuchtet sowie Zusammenhänge mit weiteren Facetten der Lehrerprofessionalität (Professionswissen, Überzeugungen etc.) und mit Merkmalen der Unterrichtsqualität (z. B. kognitive Aktivierung) aufgezeigt. Abschließend werden mögliche Implikationen für die Lehramtsausbildung erörtert.

Das Übersetzen zwischen Realität und Mathematik – das sog. Mathematisieren – macht eine zentrale Teilkompetenz des mathematischen Modellierens aus und sollte daher im Mathematikunterricht eine Rolle spielen. Lehrkräfte müssen dafür angemessene Aufgaben zur Förderung auswählen und die Lernvoraussetzungen und Leistungen der Schülerinnen und Schüler in Hinblick auf den Aufbau von Modellierungskompetenzen diagnostizieren können. Der Beitrag stellt anhand von Beispielen dar, wie beide Gesichtspunkte miteinander verbunden werden können. Für die Aufgabenkonstruktion und Auswahl sowie für die Diagnose von Schülerleistungen spielen dabei insbesondere von Aufgaben intendierte Grundvorstellungen und daran anknüpfende reflexive diagnostische Interviews eine Rolle. Chancen und Grenzen der Förderung von Mathematisierungskompetenzen durch den Einsatz mathematischer Stadtspaziergänge, denen die analysierten Aufgaben entstammen, werden im Schlussteil des Beitrags diskutiert.

Dieses Kapitel legt den Schwerpunkt auf Lehreraktivitäten, die aus einer Modellierungsperspektive stammen. Hierauf aufbauend legen wir dar, inwiefern sich Modellieren auf zwei Aspekte bezieht: zum einen dass Mathematik mittels Modellieren gelernt wird und zum anderen dass der schrittweise Prozess des Designs von Produkten und Prozessen ein Zugang zum Modellieren ist, der besonders fruchtbar für das Lernen der Schülerinnen und Schüler sein kann. Wir stellen empirische Ergebnisse aus zwei Fallstudien dar, eine aus dem Mathematikunterricht der Mittelstufe und eine aus der universitären Ingenieurausbildung, die illustrieren, wie sechs Prinzipien für mathematische Modellierungsaktivitäten notwendig sind für gute Modellierungsaufgaben, und wir stellen vier effektive Lehrpraktiken für diesen Zugang zum Modellieren dar.

Die Entwicklung von Modellierungskompetenzen ist ohne eigenständiges Bearbeiten von Modellierungsfragestellungen kaum denkbar, jedoch ist die Betreuung durch eine Lehrperson dabei unverzichtbar. Das Durchführen von die Schülerselbständigkeit fördernden Lehrerinterventionen gelingt auch erfahrenen Lehrkräften oft nicht so, wie es aus didaktischer Sicht wünschenswert wäre. Strategische Hilfen, die das weitere Vorgehen der Schülerinnen und Schüler und nicht den Inhalt des Problems thematisieren, sind hier eine Handlungsperspektive. Dazu muss die entsprechende Handlungsstrategie der Lehrperson nicht nur als eigenes Handlungsrepertoire intuitiv vertraut sein, sondern muss auch als deklaratives metakognitives Wissen vorliegen. Außerdem muss die Lehrperson in der Lage sein, basierend auf einem konkreten Arbeitsstand der Lernenden unter Verwendung des metakognitiven Wissens Handlungsstrategien anzuregen. Hier werden einige mathematische Handlungsstrategien beschrieben und basierend darauf werden Beispiele für die Formulierung von strategischen Interventionen entwickelt.

Aufgabenstellungen und die Aufgabenkultur im Klassenraum sind entscheidend für die Qualität von Lernangeboten im Hinblick auf die Förderung von Kompetenzen des Modellierens bei Schülerinnen und Schülern. Mathematiklehrkräfte sollten daher in der Lage sein, das Potential von Aufgaben für den Kompetenzaufbau der Lernenden einzuschätzen, um kognitiv aktivierende und im Hinblick auf das Modellieren reichhaltige Lerngelegenheiten schaffen zu können. Dies setzt in aller Regel voraus, dass die Lehrkräfte die Aufgaben einer Analyse unterziehen. Sichtweisen von Lehrkräften zu konkreten Aufgaben lassen dabei nicht nur Rückschlüsse auf ihr professionelles Wissen zu, sondern auch darauf, inwiefern Lehrkräfte bereit und in der Lage sind, Wissenselemente für die Analyse von Aufgaben zu nutzen. In zwei komplementär zueinander angelegten empirischen Studien werden Elemente dieser spezifischen Kompetenz mit Erhebungsformaten untersucht, die auf Sichtweisen zu Aufgaben mit höheren vs. geringeren Modellierungsanforderungen fokussieren. Daraus ergeben sich Implikationen für die Aus‑ und Fortbildung von Mathematiklehrkräften.

Mathematische Modellierung ist zwar mittlerweile in den Rahmen‑ und Lehrplänen verankert und stellt eine der sechs Kernkompetenzen bei den Bildungsstandards dar, dennoch ist die Umsetzung im Unterricht durch geschulte Lehrende in diesem Bereich national – und auch international – nicht garantiert. Ein Grund dafür ist die Tatsache, dass mathematische Modellierung und ihre Didaktik in den universitären Modulen für angehende Lehrerinnen und Lehrer nicht bundesweit festgeschrieben ist, was unter anderem auch mit den Forschungsschwerpunkten der Dozierenden an den jeweiligen Ausbildungsstätten zusammenhängt. In diesem Beitrag wird ein evaluiertes Seminarkonzept für das Lehren und Lernen mathematischer Modellierung durch zukünftige Lehrkräfte dargestellt, was dem Vorgehen des Design‐Based Research entspricht. Das Seminar unterlag einer langjährigen Entwicklung bis zur heutigen Form und führte durch die Begleitforschung zu praxistauglichen Ergebnissen sowie zur Theorieentwicklung.

In diesem Kapitel wird verdeutlicht, wie Modellierungsprozesse von Lernenden für die Lehrerausbildung zum Lehren von mathematischer Modellierung als ein wirkungsvolles Instrument eingesetzt werden können. Wir behaupten, dass sich die Expertise des Unterrichtens zum Teil darin widerspiegelt, wie Lehrkräfte Unterrichtssituationen interpretieren und darauf reagieren – sowohl darin, was sie sehen und erkennen, als auch darin, was sie tun. Wir beginnen unsere Ausführungen mit der Identifikation verschiedener Beliefs in Bezug auf mathematisches Denken und Lernen sowie den entsprechenden Unterrichtsmethoden, die die Schlüsselkompetenzen der Lehrkräfte zum Lehren und Lernen von Modellieren umfassen, die bei diesem Projekt in den Vordergrund gestellt wurden. Unsere Ergebnisse legen nahe, dass – bei Studien zur Entwicklung von Modellierungskompetenz bei Lernenden über die Dauer eines ganzen Kurs hinweg – signifikante wirkungsvolle Veränderungen auch bei den Kompetenzen auf Lehrerebene für das Lehren und Lernen von Modellieren stattfinden können. Ein Grund für diese Entwicklung auf Lehrerebene ist, dass die Lernenden bei den Modellierungsaktivitäten wichtige Aspekten ihres Denkens auf eine Weise ausdrücken, die direkt sowohl von Lehrenden als auch von Forschenden beobachtet werden können. Einblicke in die Denkweisen der Lernenden haben sich als starke Impulse zur Förderung von Lehrerkompetenzen zum Lehren mathematischer Modellierung erwiesen.

Die Durchführung von fachdidaktischen Seminaren zum mathematischen Modellieren, deren Praxisanteil in der Betreuung von Schülerinnen und Schülern in diversen Modellierungsprojekten liegt, hat eine lange Tradition an der Universität Hamburg. Ziel dieser Seminare ist es, die Studierenden zu befähigen, das mathematische Modellieren selbstständig in ihren späteren Unterricht zu integrieren. Das hierzu benötigte Wissen wird ihnen im Rahmen des fachdidaktischen Seminars vermittelt und die gesammelten Praxiserfahrungen sollen reflektiert werden. In diesem Beitrag werden die Ergebnisse des Teils der Seminarevaluation dargestellt, der sich auf die Einschätzungen der Studierenden bezüglich der Vorbereitung auf die Betreuung der Schülerinnen und Schüler während der Modellierungstage bezieht. Weiterhin werden Konsequenzen für eine Überarbeitung der Seminarkonzeption gezogen.

This chapter focuses on framing teaching practices that stem from a models and modeling perspective. Drawing on this perspective, we articulate how modeling is grounded in the dual notions that mathematics is learned through modeling and that the iterative process of designing products and processes is an approach to modeling that can be especially productive for students’ learning. We provide empirical evidence from 2 case studies, one from middle grades mathematics and one from post‐secondary engineering that illustrate how six principles of mathematical modeling activities are necessary for good modeling tasks and four effective teaching practices for this approach to modeling.

The purpose of this chapter is to highlight how work focusing on student‐level modelling and idea development can also serve as a powerful context to investigate parallel and interacting modelling processes at the teacher level. We assert that expertise in teaching is partly reflected in how teachers interpret and respond to classroom situations—in what they see and recognize, as well as in what they do. To establish a setting for extended studies of teacher‐level modelling, different research groups have found it desirable to move beyond single‐activity implementations in one of several ways. We begin our description of this work by identifying several values or beliefs about the nature of mathematical thinking and learning and corresponding instructional practices, which comprise key teacher competencies for the teaching and learning of modelling that have been emphasized by these projects. Then, we describe three different extensions from previous reports of our ongoing research, each aimed at examining and supporting students’ and teachers’ models and modelling over long time‐scales, such as the level of an entire course. Our results suggest that, in course‐sized studies of student development, significant powerful changes can also occur in teacher‐level competencies for the teaching and learning of modelling. One reason for this teacher‐level development is that in our student‐level modelling activities, students naturally express important aspects of their thinking in forms that can be observed directly by both teachers and researchers. Insights about the nature of students’ thinking have proven to be a powerful impetus to encourage important aspects of teacher development. Furthermore, course‐sized research sites enable us to directly observe significant teacher competencies that cannot be seen in studies focusing on single modelling activities.