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Über dieses Buch

Dieses Buch stellt das zentrale fachliche Hintergrundwissen für einen kompetenten Arithmetikunterricht bereit. Darüber hinaus werden grundlegende Beweistechniken thematisiert und die Leser(innen) auf die aktuelle didaktische Diskussion zu alternativen Rechenverfahren vorbereitet.
Durchgängige Orientierung an Erkenntnissen der Lernpsychologie und Textproduktion, beispielorientiertes Entdecken mathematischer Sätze und Beweise, Motivation durch interessante Quereinstiege und vielfältige Bezüge zu Alltagsfragestellungen kennzeichnen die Konzeption des Leitfadens Arithmetik.Bei der überarbeiteten und erweiterten Neuauflage wurden die Kapitel "Mengenlehre" und "Operative Beweise" sowie der Abschnitt „Rechentricks" vollständig neu erstellt und das Kapitel „Geheime Botschaften" erfuhr eine vollständige Überarbeitung. Außerdem wurde ein umfangreicher Teil mit Lösungshinweisen am Ende des Buches hinzugefügt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Mengenlehre

Das erste Kapitel ist der Mengenlehre gewidmet: Neben elementaren Bezeichnungen werden Aussageformen und Aussagen sowie mengenalgebraische Aspekte thematisiert. Ein steter Begleiter in diesem Abschnitt ist die Klasse 3a der Grundschule Dawiewo in Weitweg, die von 23 Schülerinnen und Schülern besucht wird. Die Kinder haben verschiedene Hobbies, spielen unterschiedliche Musikinstrumente, verfolgen diverse Sportarten … Hieran anknüpfend werden die Begrifflichkeiten verständnisorientiert eingeführt und anschließend abstrahiert.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

2. Grundlegende Beweistechniken

Im zweiten Abschnitt geht es um grundlegende Beweistechniken, nämlich um direkte und indirekte Beweise sowie um Beweise durch Kontraposition, wobei hier insbesondere Wahrheitstafeln betrachtet werden. Ferner werden Beweise mittels vollständiger Induktion thematisiert und mit gut nachvollziehbaren und anschaulichen Beispielen (nicht nur aus der Arithmetik!) illustriert. Das Kapitel schließt mit Anmerkungen zum Beweisen von Äquivalenzen, liefert in seiner Gesamtheit also wichtige fachliche Grundlagen für formal-logische Beweisargumentationen und zwar weit über den Kontext des vorliegenden Buches hinaus.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

3. Operative Beweise

Operative Beweise bilden den Hauptschwerpunkt des dritten Kapitels: Damit wird den formal-fachlichen Ausführungen des zweiten Abschnitts ein erweiternder didaktischer Zugang zur Seite gestellt, der von hoher unterrichtspraktischer Relevanz ist und der bereits jüngeren Kindern zentrale Ideen formalerer fachlicher Argumentationen in Form charakteristischer „Operationen“ zugänglich macht. In diesem Zusammenhang werden vor allem Grundlagen zu (Zahlen-) Folgen und hieran anknüpfend Folgen figurierter Zahlen behandelt, welche in diversen Kontexten für operative Beweise Anwendung finden können.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

4. Die Teilbarkeitsrelation

Der vierte Abschnitt ist der Teilbarkeitsrelation und ihren zentralen Eigenschaften gewidmet. Ferner werden Teilermengen sowie deren Illustration anhand von Hasse-Diagrammen betrachtet, die auch Schülerinnen und Schülern einen anschaulichen Zugang zu Zahlzusammenhängen im Kontext von Teilbarkeit bieten können.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

5. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Das fünfte Kapitel thematisiert Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und damit den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie und seinen Beweis. Ferner werden ein Teilbarkeits- und ein Primzahlkriterium eingeführt und damit wie auch mit erweiternden Betrachtungen zu Hasse-Diagrammen wichtige Brücken zu anderen Teilen des vorliegenden Buches geschlagen.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

6. Primzahlen

Primzahlen sind Gegenstand des sechsten Abschnitts. Insbesondere werden die Unendlichkeit der Primzahlen („Satz von Euklid“) sowie „Primzahllöcher“ betrachtet, das Sieb des Eratosthenes als elementares Verfahren zur Bestimmung von (vor allem kleineren) Primzahlen erarbeitet und bekannte Ansätze zum Finden sehr großer Primzahlen (vor allem mittels „Mersennescher Zahlen“) sowie weitere Phänomene rund um Primzahlen wie die Aussage der Goldbachschen Vermutung skizziert.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

7. ggT und kgV

Betrachtungen zum „größten gemeinsamen Teiler“ (ggT) und zum „kleinsten gemeinsamen Vielfachen“ (kgV) bilden den Schwerpunkt des siebten Kapitels. Neben der formalen Einführung dieser und weiterer zunächst im Kontext von ggT und kgV, aber auch für weitere Teile des Buches relevanter Begriffe wie der „Teilerfremdheit“ werden Zusammenhänge zur Primfaktorzerlegung und Verfahren zur Bestimmung von ggT und kgV vorgestellt, insbesondere der Euklidische Algorithmus. Eine Brücke zu anderen Abschnitten bilden außerdem vertiefende Überlegungen zu Hasse-Diagrammen. Als substanzielle Abrundung der inhaltlichen Erörterungen zu ggT und kgV dient schließlich die Betrachtung von Linearkombinationen und diophantischen Gleichungen.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

8. Kongruenzen und Restklassen

Kapitel 8 führt in Begrifflichkeiten, Eigenschaften und zentrale Prinzipien der Kongruenz- und Restklassenrechnung ein. In diesem Kontext werden nicht zuletzt algebraische Hintergründe wie Gruppen betrachtet und vor allem Teilbarkeitsüberlegungen als spannende Anwendungen thematisiert: Die Ausführungen des Abschnitts werden Ihnen beispielsweise elegante Antworten auf die Fragen ermöglichen, ob 750 + 1 durch 50 teilbar ist und auf welche Ziffern die Zahl 101101 endet. Außerdem werden diophantische Gleichungen in der „modulo“-Sprache formuliert und bekannte Teilbarkeitsregeln bewiesen, die auch in schulischen Kontexten zum üblichen Kanon gehören.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

9. Geheime Botschaften

„Geheime Botschaften“, d.h., Verfahren zum Verstecken und zum Verschlüsseln wie auch zum Finden und Entschlüsseln von Nachrichten sind Gegenstand der Betrachtungen des neunten Abschnitts – insbesondere werden Bezüge zur Kongruenzrechnung aufgezeigt, die in der „Kryptologie“ eine spannende und höchst aktuelle Anwendung findet. Neben klassischen Verschlüsselungsverfahren wie dem „Caesar-Chiffe“ oder dem „Vigenère-Quadrat“ stellt insbesondere die Erarbeitung des „RSA-Algorithmus“ einen Höhepunkt der Erörterungen zu Anwendungen der Kongruenzrechnung dar, die sich mit Primzahlphänomenen verbinden (und Sie werden sehen, dass es tatsächlich Sinn macht, nach immer größeren Primzahlen zu suchen!), denn seine Prinzipien sind Grundlage einer in der heutigen digitalen Zeit so wichtigen sicheren (d.h. einer möglichst nicht „entschlüsselbaren“) Übertragung von Daten.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

10. Stellenwertsysteme

Ausgehend von einer historischen Perspektive zu Zahlen und Zahldarstellungen von Babylon über das alte Ägypten bis ins antike Rom ist das zehnte Kapitel Stellenwertsystemen gewidmet. Unser dekadisches System wird hier wohlgemerkt ebenso thematisiert wie auch und gerade andere Basen in Stellenwertsystemen („b-adische Ziffernsysteme“) und das Rechnen in diesen Systemen – aus unterrichtspraktischer Perspektive besitzen b-adische Systeme einen hohen Wert, um beispielsweise Übertragstechniken bei schriftlichen Rechnungen oder Teilbarkeitsüberlegungen verständnisorientiert zu erarbeiten oder tiefergehend zu analysieren.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

11. Alternative Rechenverfahren

Der elfte und letzte Abschnitt erweitert den Rahmen eines konventionell fachmathematischen Buches um Erörterungen zu alternativen Rechenverfahren für alle Grundrechenarten, auch unter Bezügen zu den Traditionen anderer Länder und Kulturen. Hierzu zählen beispielsweise bei der Multiplikation die „Gittermethode“ oder das „Russische Bauernmultiplizieren“. Der Abschnitt wird abgerundet durch die Erarbeitung einiger substanzieller Kopfrechentricks, die teilweise in einer altindischen („vedischen“) Mathematik wurzeln und oftmals erheblich effizienter sind als die in unserem Kulturkreis verbreiteten Standardalgorithmen der Grundrechenarten. Schülerinnen und Schüler sind in der Regel fasziniert von der Andersartigkeit und Effizienz derartiger Verfahren und sie empfinden oftmals große Freude dabei, Begründungen für ihr „Funktionieren“ nachzuspüren.
Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

Backmatter

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