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2018 | Buch

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Leitfaden Geometrie

Für Studierende der Lehrämter

verfasst von: Prof. Dr. Ralf Benölken, Dr. Hans-Joachim Gorski, Dr. Susanne Müller-Philipp

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Der Leitfaden Geometrie gibt eine Einführung in verschiedene Aspekte unter denen Geometrie betrieben werden kann. Er kann als „Lesebuch“, vor allem aber als „Arbeitsbuch“ zum angeleiteten Entdecken von Geometrie benutzt werden. Das Buch ist als vorlesungsbegleitende Lektüre ebenso geeignet wie zum Selbststudium.
Diese erweiterte 7. Auflage enthält zahlreiche Ergänzungen. Vor allem wurden die Übungsaufgaben neu gestaltet und 68 Seiten mit Lösungshinweisen bzw. Musterlösungen hinzugefügt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Topologie

Zusammenfassung

Bevor im Folgenden die wichtigsten topologischen Begriffe und Sätze wiederholt, für einige eventuell auch neu eingeführt, zumindest aber für alle in einheitlicher Formulierung aufgeschrieben werden, möchten wir Ihnen einen ersten Ausblick auf die Lösung des Einstiegsproblems geben.

Stellen Sie sich ein Dodekaeder vor, also denjenigen platonischen Körper, der aus 12 zueinander kongruenten regelmäßigen Fünfecken gebildet wird. Stellen Sie sich ferner vor, Sie umhüllen diesen Körper nun mit einer Gummihaut, die Sie straff zusammenziehen und etwa über der Mitte einer Seitenfläche zusammenhalten. Die Ecken und Kanten des Körpers drücken sich durch und können mit einem Filzstift nachgezogen werden.

Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

2. Polyeder

Zusammenfassung

Wir beginnen das zweite Kapitel mit einer Faltarbeit (nach Mitchell 1997, S. 36f). Dazu benötigen wir 12 Blätter des DIN-Formates A, z.B. A4...

Aus 12 dieser Module, die nichts anderes sind als Rauten mit anhängenden Laschen und seitlichen Taschen, lässt sich ein Körper zusammenstecken, den die Mathematiker Rhombendodekaeder nennen.

Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

3. Axiomatik

Zusammenfassung

Aus der Schule ist Ihnen bekannt, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt. Falls Sie jemand fragt, warum das so ist, werden Sie vielleicht ein Bild wie das rechts zeichnen und erläutern, dass Wechselwinkel an Parallelen gleich groß sind und die drei Winkel α, β und γ sich zu einem gestreckten Winkel, also zu 180° ergänzen. Aber: Könnten Sie auf Nachfrage beweisen, dass Wechselwinkel gleich groß sind?

Grundsätzlich ist dieser Sachverhalt beweisbar, wir werden das im Laufe des Kapitels 6 erledigen. Aber spätestens bei der Nachfrage, wer uns denn garantiert, dass es durch den Eckpunkt C des Dreiecks genau eine Parallele zur Geraden AB gibt, müssten Sie passen. Das lässt sich nicht beweisen.

Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

4. Abbildungsgeometrie

Zusammenfassung

Der Abschnitt beginnt mit einigen künstlerischen und quasi-künstlerischen Werke. Seit jeher haben regelmäßige Muster, wie sie für die Abbildungen charakteristisch sind, die Menschheit fasziniert...

Worin besteht der Reiz all dieser Werke?

Ein Grund liegt sicherlich in der Regelmäßigkeit, mit der sich Grundfiguren wiederholen. Kopiert man die Ornamente auf Folie, so kann man durch Bewegungen der Folie Kopie und Ausgangsfigur immer wieder zur Deckung bringen.

Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

5. Geometrische Konstruktionen

Zusammenfassung

Beim Konstruieren geht es darum, auf der Basis vorgegebener Größen Figuren zeichnerisch exakt darzustellen. Zum Einstieg greifen wir sechs Situationen mit Aufforderungscharakter heraus:

Situation 1

In Weitweg, dem größten Land des Sterns Irgendwo, ist 1 w die kleinste nicht mehr unterteilte Längeneinheit. 1 w entspricht so ungefähr 85 cm, ganz genau wissen wir das auch nicht mehr – wie oft kommt man schon nach Weitweg? Da 1 w für viele Messungen unpraktisch groß ist, und weil in Weitweg im Siebenersystem gerechnet wird, soll die Einheit 1 w konstruktiv in sieben exakt gleich große Teile unterteilt werden, es soll also gelten: 1 w = 7 sw.

Rein konstruktives Lösen einer Fragestellung geht auf Euklid zurück und bedeutet, dass für eine Konstruktion ausschließlich die so genannten euklidischen Werkzeuge, nämlich Zirkel und Lineal, benutzt werden dürfen. Auch wenn wir heute das Konstruieren als eine fundamentale mathematische Idee hoch schätzen, sind keineswegs alle geometrischen Figuren allein unter Zuhilfenahme der euklidischen Werkzeuge konstruktiv herstellbar. Wir denken in diesem Zusammenhang heute vielleicht am ehesten an Schnitte des Kegels, die nicht parallel zur Grundfläche verlaufen, oder an viele regelmäßige n-Ecke. Aus der antiken Mathematik der Griechen sind uns drei klassische Fragestellungen überliefert, die durch Konstruieren mit euklidischen Werkzeugen nicht lösbar erschienen, die in diesem Abschnitt betrachtet werden.

Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

6. Fragestellungen der euklidischen Geometrie

Zusammenfassung

Bis vor nicht allzu langer Zeit waren wir im Glauben, dass die Waben der Honigbiene aus Sechsecksprismen bestehen. Man sieht die Parkettierung mit regelmäßigen Sechsecken und macht sich wenig Gedanken über die Beschaffenheit der Rückwand der einzelnen Wabenzelle. Wir haben uns diese wohl platt vorgestellt. An der ebenen Rückwand sitzt wiederum eine Schicht von Zellen, die von der anderen Seite zugänglich ist.

Vor ein paar Jahren lasen wir dann bei Bender und Schreiber (1985, S. 71), dass die Bienenwaben keine sechseckigen Prismen sind, sondern halbe Rhombendodekaeder, die jeweils ein Stück in die andere Wabenschicht hineinragen.

Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

7. Darstellende Geometrie

Zusammenfassung

Mit dem Kantenmodell eines Quaders und unterschiedlichen Lichtquellen kann man Schattenbilder des Quaders erzeugen und auf Papier festhalten. Auf diese Weise erhält man ebene Darstellungen eines dreidimensionalen Objektes. Dabei fällt auf, dass das immer gleiche Kantenmodell ganz verschiedene Schattenbilder ergibt. Der Schatten ist zum einen davon abhängig, in welcher Lage wir das Kantenmodell halten und in welchem Abstand zur Wand es sich befindet. Zum anderen hängt das Schattenbild davon ab, welche Art von Lichtquelle den Schatten erzeugt. Die parallelen Lichtstrahlen des PKW-Abblendlichts erzeugen einen Schatten. Auch direkt einfallendes Sonnenlicht erzeugt einen derartigen Schatten. Zwar ist unsere Sonne ein „Punkt“strahler, aber durch ihre enorme Entfernung erreichen uns auf der Erde praktisch nur noch parallele Lichtstrahlen.

Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

8. Lösungen und Hinweise

Zusammenfassung

In diesem Kapitel finden sich Lösungen oder Lösungshinweise zu den in den vorangegangenen Kapiteln gestellten Übungsaufgaben.

Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

Backmatter

Titel: Leitfaden Geometrie
verfasst von: Prof. Dr. Ralf Benölken
Dr. Hans-Joachim Gorski
Dr. Susanne Müller-Philipp
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-23378-5
Print ISBN: 978-3-658-23377-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-23378-5