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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

Leray Spectral Sequence for Complements of Certain Arrangements of Smooth Submanifolds

verfasst von : Andrzej Weber

Erschienen in: Configuration Spaces

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

Let X be a complex algebraic manifold. Let U be the complement of a configuration of submanifolds. We study the Leray spectral sequence of the inclusion U ↪ X computing the cohomology of U. Under some condition posed on the intersections of submanifolds we show that the Leray spectral sequence degenerates on E 3. This result generalizes well known properties of hyperplane arrangements. The main cause which rigidifies the spectral sequence is the weight filtration in cohomology.

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Fußnoten
1
Avoiding the sheaf language and forgetting Hodge structure we have
$$\displaystyle{\left (R^{k}j'_{{\ast}}\mathbb{Q}_{ U_{1}\cup U_{2}}\right )_{x} \simeq H^{k}(B_{x} \cap (U_{ 1} \cup U_{2})) \simeq H^{k}(\partial B_{x} \cap (U_{ 1} \cup U_{2}))\,,}$$
where B x is a small ball around x. The stalk of the sheaf of local cohomology \(\mathcal{H}_{\ell}(Y )_{x}\) is isomorphic to
$$\displaystyle{H_{\ell}(B_{x} \cap Y,\partial B_{x} \cap Y ) \simeq \bar{ H}_{\ell-1}(\partial B_{x} \cap Y )\,.}$$
By Alexander duality in ∂ B x we have
$$\displaystyle{\bar{H}^{k}(\partial B_{x} \cap (U_{ 1} \cup U_{2})) \simeq \bar{ H}_{2n-k-2}(\partial B_{x} \cap Y ) \simeq H_{2n-k-1}(B_{x} \cap Y,\partial B_{x} \cap Y )\,.}$$
 
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Metadaten
Titel
Leray Spectral Sequence for Complements of Certain Arrangements of Smooth Submanifolds
verfasst von
Andrzej Weber
Copyright-Jahr
2016
Buch
Configuration Spaces

Print ISBN: 978-3-319-31579-9

Electronic ISBN: 978-3-319-31580-5

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-31580-5_4