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Über dieses Buch

Dieses Buch behandelt in verständlicher und klarer Sprache den klassischen Inhalt einer „Analysis 1“-Vorlesung. Das Besondere dabei ist die Zusammensetzung des Autorenteams: zwei Promotions-Studenten und ein Professor. In die Darstellung der einzelnen Themen wie Folgen, unendliche Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung, fließen so einerseits die Erfahrungen eines Hochschullehrers – der die Vorlesung mehrmals gehalten hat – und andererseits die Erfahrungen ehemaliger Studenten über typische Schwierigkeiten beim Übergang von der Oberstufen- zur Hochschulmathematik ein.Die mathematisch exakt formulierten Sätze und Definitionen werden durch viele Beispiele, Erklärungen sowie Anschauungen aufgelockert, die das Behandelte greifbar machen und das Verständnis erleichtern. Historische Exkurse beleuchten die Entwicklung des Gebietes, sind harmonisch in den Text eingefügt und dienen der Motivation. Zudem fördern didaktisch aufbereitete Beweise den Einstieg in die mathematische Denkweise. Am Ende eines jeden Kapitels wird schließlich das Wichtigste noch einmal übersichtlich zusammengefasst. Auf Grund der zahlreichen Aufgaben samt Lösungsvorschlag eignet sich dieses Buch nicht nur zur Vorlesungsbegleitung, sondern auch zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung.

Die ZielgruppenLehramtsstudierende der Mathematik sowie Bachelorstudierende der Mathematik, Physik und Informatik, aber auch Lehrerinnen und Lehrer an Gymnasien und Schülerinnen und Schüler der gymnasialen Oberstufe

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Elementar(st)e Logik und Mengenlehre

Zusammenfassung
Au Backe: „Logik“? Das klingt schon sehr abschreckend, aber ohne Logik kommt man in der Mathematik nicht aus. Mathematik ist eben eine exakte Wissenschaft. Logik ist ein wichtiger Teil der Sprache der Analysis; der andere wichtige Teil ist die Mengenlehre.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 2. Vollständige Induktion

Zusammenfassung
Viele Aussagen in der Mathematik – und insbesondere in der Analysis – sind „von n abhängig“, wobei n ϵ ℕ gilt. Wie sollte man solche Aussagen beweisen? Es gibt schließlich unendlich viele natürliche Zahlen und wir können unmöglich für jedes n ϵ {0; 1; 2; 3; 4, ···} einen Beweis durchführen! Darum lernen wir hier eine neue Beweistechnik kennen, die vollständige Induktion. Wenn es so etwas gibt, dann liegt die Frage nach der unvollständigen Induktion nahe.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 3. Körper

Zusammenfassung
Körper?! Warum denn das jetzt? Machen wir nun Analysis oder doch eher Algebra? Keine Angst, wir bleiben natürlich bei der Analysis und dieses Kapitel wird ganz kurz. Es dient nur dazu, an die „offensichtlichen“ Rechenregeln zu erinnern und ein paar wichtige Dinge zu notieren (wie die Dreiecksungleichung), die man in der Analysis unbedingt benötigt. Denn tatsächlich gibt es so etwas wie ist kleiner als oder ist größer als und damit Ungleichungen erst in angeordneten Körpern.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 4. Funktionen

Zusammenfassung
Funktionen (von lat. functio = Verrichtung) bilden ein wesentliches Konzept in der modernen abstrakten Mathematik und werden je nach Kontext auch Abbildungen genannt. So spricht man beispielsweise in der (Linearen) Algebra oder analytischen Geometrie traditionell von Abbildungen, in der Analysis hingegen von Funktionen. Beide Begriffe sind aber synonym und meinen eindeutige Zuordnungen (Relationen bzw.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 5. Folgen in archimedisch angeordneten Körpern

Zusammenfassung
Der grundlegende Begriff der Analysis ist der Begriff des Grenzwerts oder Limes. Wie man dem Namen bereits entnimmt, handelt es sich dabei um den finalen, den endgültigenWert, dem eine Folge von Zahlen zustrebt. Betrachtet man beispielsweise die Brüche.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 6. Unendliche Reihen

Zusammenfassung
Wir haben bereits in Kapitel 2 die geometrische Summenformel
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 7. Stetigkeit

Zusammenfassung
Wir kommen zurück zu den Funktionen und ihren Eigenschaften. Ein paar Funktionen habt ihr schon in Kapitel 4 kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir euch mit ein paar weiteren, besonders wichtigen Exemplaren bekannt machen; mit dabei sind die Logarithmusfunktion, die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. Ihr habt in Kapitel 4 auch schon ein paar Eigenschaften von Funktionen kennengelernt, wie etwa Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 8. Gleichmäßigkeit

Zusammenfassung
Wie in jedem Paradies lauert auch im Paradies der Analysis eine Schlange. Wir sind bisher mit unserem Konvergenzbegriff sehr gut zurechtgekommen, aber jetzt müssen wir lernen, neue Begriffe zu akzeptieren, denn es gibt Probleme. So ist die Grenzfunktion einer Folge von stetigen Funktionen nicht notwendig eine stetige Funktion, die Grenzfunktion einer Folge integrierbarer Funktionen nicht notwendig integrierbar, und selbst eine Folge differenzierbarer Funktionen kann gegen eine Funktion konvergieren, deren Ableitung nichts mit dem Grenzwert der Ableitungen der Funktionen aus der Folge zu tun hat.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 9. Das Riemann-Integral

Zusammenfassung
Die ursprüngliche Motivation für die Integralrechnung ist die Bestimmung von Flächeninhalten. Ist die Frage im Falle von Rechtecken und Dreiecken (und damit auch insgesamt gradlinig berandeter Flächen) noch elementargeometrisch lösbar, so ist sie im Fall krummlinig berandeter Figuren nicht mehr direkt zugänglich. Dieses Problem hat Mathematiker seit jeher beschäftigt und bereits in der Antike konnte für Spezialfälle eine Lösung gefunden werden.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 10. Differentialrechnung und Fortführung der Integralrechnung

Zusammenfassung
Die Differentialrechnung wurde unabhängig von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz im 17. Jahrhundert entwickelt. Dabei hatten beide jedoch unterschiedliche Motive: Newtons Ansatz war physikalischer Natur, er betrachtete Kurven als stetige Bewegung und es ging ihm um die Berechnung von Momentangeschwindigkeiten, - beschleunigungen und Ähnlichem.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 11. Potenzreihen

Zusammenfassung
Wir haben bereits gesehen, dass man eine Funktion f als den Grenzprozess einer Folge von Funktionen (fn)nϵℕ definieren kann. Die wichtigsten Vertreter solcher Funktionen sind spezielle Reihen, Potenzreihen genannt, die wir in diesem Kapitel genauer kennenlernen wollen. Mit einigen prominenten Vertretern aus dieser Klasse, etwa der Exponentialfunktion oder der geometrischen Reihen sind wir auch schon vertraut. Wie bei diesen Spezialfällen stellt sich allgemein zunächst die Frage nach der Konvergenz solcher Reihen.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 12. Uneigentliche Integrale

Zusammenfassung
Bei der Definition des Riemann-Integrals einer Funktion f : ℝ → ℝ sind sowohl die Kompaktheit des Integrationsintervalls [a, b] als auch die Beschränktheit des Integranden wesentlich. Nur unter diesen Bedingungen ist die fundamentale Integralabschätzung.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 13. Metrik, Norm, Topologie

Zusammenfassung
Viele der in diesem Buch behandelten Konzepte lassen sich über die reellen Zahlen hinaus verallgemeinern. Insbesondere für eure nächsten Semester, in denen ihr etwa Funktionen, Integration sowie Differentiation in mehreren Dimensionen behandeln werdet, ist diese Verallgemeinerung auch zwingend notwendig. Daher wollen wir euch in diesem Kapitel mit den wichtigsten topologischen Grundbegriffen vertraut machen, die ihr dafür benötigt.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

Kapitel 14. Lösungen

Zusammenfassung
Wir definieren A: “Es regnet” und B: “Es schneit”. Dann lautet die Aussage.
Jan Glaubitz, Daniel Rademacher, Thomas Sonar

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