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Über dieses Buch

Diese neuartig konzipierte Einführung in die Lineare Algebra und Analytische Geometrie für Studierende der Mathematik im ersten Studienjahr ist auf den Bachelorstudiengang Mathematik zugeschnitten. Das Buch ist besonders auch für Studierende des Lehramts gut geeignet. Die Darstellung mit sehr ausführlichen Erläuterungen, vielen anschaulichen Beispielen und Beispielaufgaben, die Schritt für Schritt erklärt und vollständig durchgerechnet werden, sowie zahlreichen sorgfältigen Abbildungen erleichtert das Lernen und geht auf die Verständnisschwierigkeiten der Studienanfänger ein. Es ist ein umfassendes Lern- und Arbeitsbuch und kann auch zum Selbststudium und als Nachschlagewerk benutzt werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

0. Lineare Geometrie im n-dimensionalen reellen Raum

Zusammenfassung
Kapitel 0 ist als Brücke zwischen Schule und Studium konzipiert. Ausgangspunkt ist die Beschreibung von Geraden und Ebenen im n-dimensionalen reellen Vektorraum. Dabei werden die elementarsten Techniken der linearen Algebra, wie das Rechnen mit Vektoren, insbesondere Skalarprodukt und Vektorprodukt eingeführt. Schließlich werden allgemeine lineare Gleichungssysteme mit Hilfe von Matrizen beschrieben und mit Hilfe der klassischen Methode der Elimination gelöst. All das dient der sehr konkreten Vorbereitung auf die späteren Kapitel, in denen ein abstrakterer Standpunkt eingenommen wird.
Gerd Fischer

1. Grundlagen

Zusammenfassung
Kapitel 1 führt kurz in die Grundlagen der Mathematik ein. Es handelt von Mengen und Abbildungen, von Gruppen, Ringen und Körpern. Ausführlicher werden dabei die Ringe der ganzen Zahlen und der Polynome, sowie die Körper der rationalen, der reellen und der komplexen Zahlen, sowie einfache endliche Körper beschrieben. Die reellen Zahlen werden nicht nur axiomatisch sondern mit der Methode von Cantor auch konstruktiv eingeführt, und es wird die Problematik des Rechnens mit Dezimalbrüchen erläutert.
Gerd Fischer

2. Vektorräume und lineare Abbildungen

Zusammenfassung
Kapitel 2 enthält die Grundlagen der linearen Algebra: Vektorräume und ihre Basen, lineare Abbildungen und ihre Beschreibung durch Matrizen, Dimensionsformeln für lineare Abbildungen und Untervektorräume, die allgemeine lineare Gruppe und Transformationsformeln. Wichtig für Anwendungen ist die LR-Zerlegung von Matrizen.
Gerd Fischer

3. Determinanten

Zusammenfassung
Kapitel 3 handelt von Determinanten und ihrer Bedeutung. Sie werden zunächst geometrisch motiviert, dann axiomatisch eingeführt und anschließend mit verschiedenen Methoden berechnet. Dabei spielt die Gruppe der Permutationen eine entscheidende Rolle. Determinanten sind insbesondere ein wichtiges Hilfsmittel im folgenden Kapitel.
Gerd Fischer

4. Eigenwerte

Zusammenfassung
Kapitel 4 handelt von Eigenwerten und Eigenvektoren, sie sind von grundlegender Bedeutung in Mathematik und Physik, etwa bei Differentialgleichungen und Schwingungsvorgängen. Die wichtigsten Ergebnisse betreffen Diagonalisierung und Trigonalisierung von Matrizen, Höhepunkt ist die Jordansche Normalform.
Gerd Fischer

5. Bilineare Algebra und Geometrie

Zusammenfassung
Kapitel 5 behandelt verschiedene Themen der Bilinearen Algebra. Es beginnt mit der klassischen aber leider oft vergessenen Theorie der Kegelschnitte, ihre geometrischen Eigenschaften und Anwendungen davon. Anschließend werden allgemein Bilinearformen und ihre Beschreibung durch Matrizen, Transformationsformeln, Diagonalisierung und schließlich das Trägheitsgesetz von Sylvester, sowie Anwendungen in der Geometrie ausgeführt. Danach werden euklidische und unitäre Vektorräume eingeführt und Fragen der Definitheit geklärt. Wichtig für Anwendung sind die QR-Zerlegung von Matrizen und die klassische Methode der kleinsten Quadrate, sowie die Singulärwert-Zerlegung von Matrizen. Den Abschluss bilden die Hauptachsentransformation von Quadriken und als Ausflug in die Physik die Beschreibung des Trägheitstensors.
Gerd Fischer

Backmatter

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