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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

I. Lie-Gruppen

Zusammenfassung
In diesem Teil des Buches geben wir eine elementare Einführung in die Theorie der Lie-Gruppen. Unser Hauptaugenmerk gilt dabei den linearen Gruppen, d.h. Gruppen von invertierbaren reellen oder komplexen n × n-Matrizen. In Abschnitt I.1 stellen wir einige Tatsachen über die allgemeine lineare Gruppe Gl(n,\(\mathbb{K}\)) mit \(\mathbb{K}\) gleich \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\), die aus allen invertierbaren reellen bzw. komplexen n × n-Matrizen besteht, zusammen. Ein wesentliches Prinzip der Lie-Theorie ist es, den vorkommenden Gruppen gewisse lineare Räume, die Lie-Algebren, zuzuordnen und einen Übersetzungsmechanismus einzurichten, der geometrisch-analytische Probleme auf der Gruppenseite in Probleme der (linearen) Algebra überführt. Träger dieses Mechanismus ist die Exponentialfunktion, die in Abschnitt I.2 eingeführt wird. In Abschnitt I.3 zeigen wir, wie man die Lie-Algebra zu einer abgeschlossenen Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe findet. Als erste Anwendung der Exponentialfunktion sieht man, daß jede solche Untergruppe lokal wie ein Vektorraum aussieht. Um auch gruppentheoretische Probleme in die Lie-Algebra übertragen zu können, muß man untersuchen, in welcher Beziehung die Exponentialfunktion zur Gruppenmultiplikation steht. Diese kann man aus der Campbell-Hausdorff-Formel ablesen, die in Abschnitt I.4 bewiesen wird.
Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb

II. Lie-Algebren

Zusammenfassung
Wir haben schon im ersten Kapitel gesehen, daß Lie-Algebren beim Studium lokal linearer Lie-Gruppen in natürlicher Weise auftreten. In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Strukturtheorie von endlichdimensionalen Lie-Algebren über \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\). Es ist unabhängig von Kapitel I, aber in der Stoffauswahl haben wir uns von den Anwendungen auf die Strukturtheorie der Lie-Gruppen, wie wir sie im dritten Kapitel besprechen werden, leiten lassen. Insbesondere gehen wir nicht auf die Klassifikation der einfachen komplexen Lie-Algebren ein, die man in vielen Lehrbüchern (siehe z.B. [Hu72], [Bou75], [Ja62], [He78]) abgehandelt findet, ein. Im ersten Abschnitt geben wir die grundlegenden Definitionen und einige Prinzipien zur Konstruktion von Lie-Algebren an. Der zweite Abschnitt ist der Theorie der nilpotenten und auflösbaren Lie-Algebren gewidmet. Hauptergebnisse sind die Darstellbarkeit solcher Algebren durch Dreiecksmatrizen (zumindest im komplexen Fall) und das Cartan-Kriterium für die Auflösbarkeit von Lie-Algebren. Dieses wird im dritten Abschnitt dazu benützt, halbeinfache Lie-Algebren durch die Nichtausgeartetheit der Killing-Form zu charakterisieren. Wir zeigen weiter, daß jede halbeinfache Lie-Algebra die direkte Summe von einfachen Algebren ist und führen die Wurzelzerlegung bezüglich einer Cartan-Unteralgebra ein, die den Ausgangspunkt für die Klassifikation der einfachen Lie-Algebren darstellt. Im vierten Abschnitt besprechen wir Erweiterungen und Moduln von Lie-Algebren. Die zentralen Aussagen sind zwei Zerfällungssätze für kurze exakte Sequenzen, die als Korollare die Sätze von Levi (jede endlichdimensionale Lie-Algebra ist die halbdirekte Summe eines auflösbaren Ideals mit einer halbeinfachen Unteralgebra) und Weyl (jeder endlichdimensionale Modul über einer halbeinfachen Lie-Algebra ist direkte Summe von einfachen Moduln) haben. Zum Beweis der Zerfällungssätze führen wir in Abschnitt 5 Kohomologie von Lie-Algebren ein und zeigen, daß für halbeinfache Lie-Algebren die erste und zweite Kohomologie verschwindet.
Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb

III. Strukturtheorie von Lie-Gruppen

Zusammenfassung
Im dritten Teil dieses Buches werden wir die Resultate der ersten beiden Teile zusammenbringen und daraus wichtige Resultate über, die Struktur Liescher Gruppen herleiten. Der leitende Gedanke bei der Strukturtheorie Liescher Gruppen ist es, die Resultate so weit wie möglich auf der Stufe der Lie-Algebren vorzubereiten, und sie dann mittels der Exponentialfunktion auf die Gruppen zu übertragen.
Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb

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