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2017 | Buch

Lineare Algebra 1

Die Grundlagen für Studierende der Mathematik und Physik

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Über dieses Buch

Im vorliegenden Lehrbuch werden die Grundlagen der Linearen Algebra im Detail vorgestellt: Nachdem die grundlegenden Strukturen der Mathematik - die Gruppen, Ringe und Körper - eingeführt sind, werden Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ausführlich vorgestellt. Wichtige Normalformen werden ebenso diskutiert wie die Determinante und das Problem der Diagonalisierung. Abschließend werden die Theorien der euklidischen und unitären Vektorräume parallel entwickelt. Die formalen Aspekte der wissenschaftlichen Mathematik werden stark betont. Andererseits wird gerade aus den Anwendungen in der mathematischen Physik wichtige Motivation für das Vorgehen gewonnen. Auf diese Weise ist das Lehrbuch für Studierende der Mathematik und der Physik geeignet. Mehr als 200 umfangreiche Übungen erleichtern das Selbststudium.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Elementare Geometrie im Anschauungsraum ℝ3
Zusammenfassung
In diesem ersten Kapitel wollen wir an das Schulwissen zur linearen Algebra und elementaren Geometrie anknüpfen und unsere unmittelbare Anschauung dazu verwenden, einige erste mathematische Definitionen zu Vektoren, Geraden und Ebenen im \(\mathbb{R}^{3}\) zu motivieren. Dieses Kapitel wird daher weitgehend als Heuristik zu verstehen sein – einen systematischeren und vor allem mathematisch exakteren Zugang zu den verschiedenen Begriffen der linearen Algebra werden wir uns in den folgenden Kapiteln erarbeiten müssen.
Stefan Waldmann
2. Intermezzo
Zusammenfassung
Wir haben in Kap. 1 nun einen Zustand des Verständnisses erreicht, der mehr Fragen aufwirft als beantwortet. Eigentlich ein gutes Zeichen dafür, dass es sich um interessante Probleme handelt.
Stefan Waldmann
3. Von Gruppen, Ringen und Körpern
Zusammenfassung
In diesem Kapitel schaffen wir zum einen die Grundlagen dafür, welche Sorte von Skalaren wir bei der angestrebten Definition eines Vektorraums verwenden werden. Gleichzeitig lernen wir mit Gruppen, Ringen und Körpern einige der wichtigsten algebraischen Strukturen der Mathematik kennen. Die generelle Strategie wird sein, verschiedene Verknüpfungen auf einer gegebenen Menge zu studieren. Dazu wollen wir diesen Verknüpfungen axiomatisch Eigenschaften auferlegen, die wir von den Zahlen wie etwa \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) oder \(\mathbb{R}\) kennen. Im gleichen Schritt soll dann auch immer studiert werden, was die entsprechenden strukturerhaltenden Abbildungen zwischen solchen Mengen mit (spezifischer) Verknüpfung vom selben Typ sein sollen. Diese Sichtweise hat sich in der Mathematik als sehr erfolgreich erwiesen und wird uns auch jenseits dieses Kapitels weiter begleiten: Wann immer eine neue Struktur erforderlich ist, sollte man gleichzeitig auch die strukturverträglichen Abbildungen betrachten.
Stefan Waldmann
4. Lineare Gleichungssysteme und Vektorräume
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir den in der linearen Algebra zentralen Begriff des Vektorraums vorstellen und erste Eigenschaften diskutieren. Als erste Motivation hierfür wollen wir lineare Gleichungssysteme systematisch behandeln. Anschließend werden wir verschiedene Beispiele von Vektorräumen kennenlernen und den Begriff der linearen Unabhängigkeit und des Erzeugendensystems einführen. Maximale Systeme von linear unabhängigen Vektoren entsprechen minimalen Erzeugendensystemen und werden Basen eines Vektorraums genannt. Wir zeigen, welche Eigenschaften die Basen eines Vektorraums besitzen, und weisen deren Existenz nach. Es stellt sich heraus, dass je zwei Basen die gleiche Mächtigkeit besitzen, was es erlaubt, die Dimension eines Vektorraums zu definieren. Schließlich präsentieren wir einige grundlegende Konstruktionen wie das kartesische Produkt und die direkte Summe von Vektorräumen. In diesem Kapitel ist https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-49914-6_4/MediaObjects/339151_1_De_4_Figa_HTML.gif ein fest gewählter Körper.
Stefan Waldmann
5. Lineare Abbildungen und Matrizen
Zusammenfassung
Wie auch schon für Monoide, Gruppen, Ringe und Körper wollen wir nun auch für Vektorräume den richtigen Begriff von strukturerhaltender Abbildung etablieren. Das wird auf die linearen Abbildungen führen, die wir in diesem Kapitel eingehend studieren werden. Nach einigen ersten Eigenschaften und Beispielen werden wir lineare Abbildungen in Bezug auf gewählte Basen durch Matrizen beschreiben. Matrizen sind uns implizit bei der Formulierung des Gauß-Algorithmus bereits begegnet. In diesem Kapitel werden wir nun Matrizen genauer betrachten. Eine spezielle Variante der linearen Abbildungen sind die linearen Funktionale, welche den Dualraum eines Vektorraums bilden. Die Beziehungen von Vektorraum und seinem Dualraum werden von fundamentaler Bedeutung sein, und ihr Studium zieht sich als roter Faden durch viele weiterführende Bereiche der Mathematik. In diesem Kapitel ist   https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-49914-6_5/MediaObjects/339151_1_De_5_Figa_HTML.gif wieder ein fest gewählter Körper.
Stefan Waldmann
6. Determinanten und Eigenwerte
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir hauptsächlich endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-49914-6_6/MediaObjects/339151_1_De_6_Figa_HTML.gif betrachten. Damit können wir uns also auf den Vektorraum https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-49914-6_6/MediaObjects/339151_1_De_6_Figb_HTML.gif für \(n \in \mathbb{N}\) beschränken und lineare Abbildungen mit Matrizen https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-49914-6_6/MediaObjects/339151_1_De_6_Figc_HTML.gif identifizieren. Für quadratische Matrizen https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-49914-6_6/MediaObjects/339151_1_De_6_Figd_HTML.gif , welche gerade den Endomorphismen von https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-49914-6_6/MediaObjects/339151_1_De_6_Fige_HTML.gif entsprechen, werden wir die Determinante definieren und eingehend studieren. Sie wird insbesondere ein einfaches Kriterium für die Invertierbarkeit von Matrizen liefern. Weiter wird sie für die Behandlung des Eigenwertproblems eine zentrale Rolle spielen. Die Frage nach der Existenz von genügend vielen Eigenvektoren, um die Diagonalisierbarkeit des Endomorphismus zu gewährleisten, wird uns auf das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom eines Endomorphismus führen. Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper, oder etwas allgemeiner für ein in Linearfaktoren zerfallendes charakteristisches Polynom, werden wir mit der Jordan-Zerlegung und dem zugehörigen Spektralsatz ein effektives Mittel zur Diagonalisierung finden. Mit der Jordan-Normalform finden wir schließlich auch noch für den nilpotenten Anteil eines Endomorphismus eine besonders einfache Form.
Stefan Waldmann
7. Euklidische und unitäre Vektorräume
Zusammenfassung
Bislang hatten wir Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ohne jede weitere Struktur studiert. In diesem Kapitel wollen wir nun eine erste zusätzliche Struktur hinzunehmen, die es erlaubt, geometrischen Fragestellungen nachzugehen. Wie schon in Abschn. 1.​3 skizziert, benötigt man zur Definition von Längen und Winkeln eine zusätzliche Information. Die noch reqcht heuristischen Überlegungen aus Abschn. 1.​3 wollen wir daher nun systematischer formulieren, was uns auf das Studium von Skalarprodukten führen wird. Da wir bei Skalarprodukten gewisse Positivitätseigenschaften fordern werden (Längen sind positiv), werden wir uns in diesem Kapitel hauptsächlich auf Vektorräume über \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) konzentrieren. Zudem werden in diesem Kapitel die Vektorräume meist endlich-dimensional sein: Zwar sind die entscheidenden Definitionen unabhängig von der Dimension möglich, in unendlichen Dimensionen werden die wichtigen Sätze jedoch ohne den massiven Einsatz von (funktional-) analytischen Techniken nicht zu erreichen sein. Diese für uns momentan unzugänglichen Situationen sind trotzdem für die Mathematik von größter Wichtigkeit. Ihr Studium erfolgt dann in der Funktionalanalysis der Hilbert-Räume und findet ihre fundamentale Anwendung und Inspiration in der Quantenmechanik.
Stefan Waldmann
Backmatter
Metadaten
Titel
Lineare Algebra 1
verfasst von
Stefan Waldmann
Copyright-Jahr
2017
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-49914-6
Print ISBN
978-3-662-49913-9
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-49914-6