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Über dieses Buch

Im vorliegenden Lehrbuch werden die Grundlagen der Linearen Algebra im Detail vorgestellt: Nachdem die grundlegenden Strukturen der Mathematik – die Gruppen, Ringe und Körper – eingeführt sind, werden Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ausführlich vorgestellt. Wichtige Normalformen werden ebenso diskutiert wie die Determinante und das Problem der Diagonalisierung. Abschließend werden die Theorien der euklidischen und unitären Vektorräume parallel entwickelt.

Dieses Buch ist der erste von zwei Bänden zur Linearen Algebra. Der Zugang der beiden Bände ist einerseits eher klassisch: Die formalen Aspekte der wissenschaftlichen Mathematik werden stark betont. Andererseits wird gerade aus den Anwendungen in der mathematischen Physik wichtige Motivation für das Vorgehen gewonnen. Auf diese Weise ist das Lehrbuch für Studierende der Mathematik und der Physik geeignet. Mehr als 260 umfangreiche Übungen erleichtern das Selbststudium.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Elementare Geometrie im Anschauungsraum R3

Zusammenfassung
In diesem ersten Kapitel wollen wir an das Schulwissen zur linearen Algebra und elementaren Geometrie anknüpfen und unsere unmittelbare Anschauung dazu verwenden, einige erste mathematische Definitionen zu Vektoren, Geraden und Ebenen im \( {\mathbb{R}^3} \) zu motivieren. Dieses Kapitel wird daher weitgehend als Heuristik zu verstehen sein – einen systematischeren und vor allem mathematisch exakteren Zugang zu den verschiedenen Begriffen der linearen Algebra werden wir uns in den folgenden Kapiteln erarbeiten müssen.
Stefan Waldmann

2. Intermezzo

Zusammenfassung
Wir haben in Kap. 1 nun einen Zustand des Verständnisses erreicht, der mehr Fragen aufwirft als beantwortet. Eigentlich ein gutes Zeichen dafür, dass es sich um interessante Probleme handelt.
Stefan Waldmann

3. Von Gruppen, Ringen und Körpern

Zusammenfassung
In diesem Kapitel schaffen wir zum einen die Grundlagen dafür, welche Sorte von Skalaren wir bei der angestrebten Definition eines Vektorraums verwenden werden. Gleichzeitig lernen wir mit Gruppen, Ringen und Körpern einige der wichtigsten algebraischen Strukturen der Mathematik kennen. Die generelle Strategie wird sein, verschiedene Verknüpfungen auf einer gegebenen Menge zu studieren.
Stefan Waldmann

4. Lineare Gleichungssysteme und Vektorräume

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir den in der linearen Algebra zentralen Begriff des Vektorraums vorstellen und erste Eigenschaften diskutieren. Als erste Motivation hierfür wollen wir lineare Gleichungssysteme systematisch behandeln. Anschließend werden wir verschiedene Beispiele von Vektorräumen kennenlernen und den Begriff der linearen Unabhängigkeit und des Erzeugendensystems einführen.
Stefan Waldmann

5. Lineare Abbildungen und Matrizen

Zusammenfassung
Wie auch schon für Monoide, Gruppen, Ringe und Körper wollen wir nun auch für Vektorräume den richtigen Begriff von strukturerhaltender Abbildung etablieren. Das wird auf die linearen Abbildungen führen, die wir in diesem Kapitel eingehend studieren werden. Nach einigen ersten Eigenschaften und Beispielen werden wir lineare Abbildungen in Bezug auf gewählte Basen durch Matrizen beschreiben.
Stefan Waldmann

6. Determinanten und Eigenwerte

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir hauptsächlich endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper \( {\mathbb{K}} \) betrachten.
Stefan Waldmann

7. Euklidische und unitäre Vektorräume

Zusammenfassung
Bislang hatten wir Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ohne jede weitere Struktur studiert. In diesem Kapitel wollen wir nun eine erste zusätzliche Struktur hinzunehmen, die es erlaubt, geometrischen Fragestellungen nachzugehen. Wie schon in Abschn. 1.3 skizziert, benötigt man zur Definition von Längen und Winkeln eine zusätzliche Information. Die noch recht heuristischen Überlegungen aus Abschn. 1.3 wollen wir daher nun systematischer formulieren, was uns auf das Studium von Skalarprodukten führen wird.
Stefan Waldmann

Backmatter

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