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2024 | Buch

Lineare Algebra I

Geeignet zum Selbststudium oder für Inverted-Classroom-Vorlesungen

verfasst von: Marco Hien

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch behandelt die üblichen Inhalte der Vorlesung „Lineare Algebra“. Ein besonderer Schwerpunkt wird auf die schrittweise Entwicklung der Grundbegriffe, Konzepte und Sätze gelegt. Das Buch enthält eine Vielzahl von Motivationen und Querbezügen zwischen konkreten (Rechen-)Beispielen und abstrakten Aussagen und eignet sich daher hervorragend zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung in die mathematische Sprache

Zusammenfassung

Ein einführendes Kapitel, in dem die grundlegende mathematische Sprache eingeführt wird, die Grundzüge der Logik und Abbildung zwischen Mengen besprochen werden.

Marco Hien

Kapitel 2. Körper

Zusammenfassung

In der linearen Algebra werden die sogenannten Vektorräume eine wesentliche Rolle spielen. Bevor wir diese definieren, müssen wir den Begriff eines Körpers einführen, denn einem jeden Vektorraum liegt ein Körper zu Grunde.

Marco Hien

Kapitel 3. Vektorräume und lineare Abbildungen

Zusammenfassung

Der Begriff des Vektorraums über einem Körper steht im Mittelpunkt der Linearen Algebra. Wir führen diese formal ein und betrachten allgemeine Eigenschaften und explizite Beispiele. Dann betrachten wir lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen – also solche Abbildungen, die die Vektorraumstruktur berücksichtigen. Im Speziallfall \(\textbf{k}^n \rightarrow \textbf{k}^m\) sehen wir, dass lineare Abbildungen sehr explizit durch Matrizen beschrieben sind.

Marco Hien

Kapitel 4. Basis und Dimension

Zusammenfassung

Ein zentrales Resultat zu Beginn der Linearen Algebra ist, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Wir definieren den Begriff einer Basis und besprechen dann dieses Resultat und wichtige Folgerungen daraus. Insbesondere ergibt sich der Begriff der Dimension eines Vektorraums aus diesen Ergebnissen.

Marco Hien

Kapitel 5. Lineare Abbildungen und Matrizen – allgemeiner Fall

Zusammenfassung

Lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen lassen sich ebenfalls durch Matrizen – der darstellenden Matrix – beschreiben, allerdings erst nach Basiswahlen in den Vektorräumen. In diesem Kapitel diskutieren wir diese Konstruktion.

Marco Hien

Kapitel 6. Lineare Gleichungssysteme – das Gauß -Verfahren

Zusammenfassung

Diese Kapitel ist ein sehr praktisch nützliches, wir erarbeiten, wie man am schnellsten lineare Gleichungssysteme löst und verstehen dabei auch die Eigenschaften des Lösungsraums. Das sogenannte Gauß-Verfahren wird mit Hilfe von Zeilen- bzw. Spaltenumformungen durchgeführt. Wir werden uns diese Umformungen auch unter theoretischen Aspekten genauer ansehen.

Marco Hien

Kapitel 7. Äquivalenzrelationen und Quotientenvektorräume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel von abstrakterer Natur werden Äquivalenzrelationen eingeführt und damit der Quotientenvektorraum eines Vektorraums modulo einem Untervektorraum konstruiert. Mit diesen Begriffen lässt sich der sogenannte Homomorphiesatz formulieren und beweisen.

Marco Hien

Kapitel 8. Der Polynomring über einem Körper

Zusammenfassung

Polynome in einer Variablen über einem Körper werden in den nachfolgenden Kapiteln eine wichtige Rolle spielen. Hier werden sie formal eingeführt und die wichtigsten Eigenschaften des Polynomrings über einem Körper bewiesen. Insbesondere lernen wir den euklidischen Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers kennen. Für die lineare Algebra spezieller definieren wir das Minimalpolynom zu einer quadratischen Matrix.

Marco Hien

Kapitel 9. Die Determinante

Zusammenfassung

Die Determinante ist ein Körperelement, das einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und beispielsweise erkennt, ob die Matrix invertierbar ist oder nicht. Wir lernen ihre Definition und verschiedene Berechnungsmethoden kennen. Die Cramer’sche Regel ist eine Darstellung der Lösungen eines invertierbaren inhomogenen linearen Gleichungssystems mit Hilfe der Determinanten. Schließlich betrachten wir Determinanten, die polynomiell von einer Unbestimmten abhängen – das wird bei den Eigenwerten wichtig sein.

Marco Hien

Kapitel 10. Eigenwerte

Zusammenfassung

Ein zentrales Thema der linearen Algebra ist die Theorie der Eigenwerte. Es wird uns über mehrere Kapitel beschäftigen und auch im Bd. 2 eine wichtige Rolle spielen. In diesem Kapitel besprechen wir, aus welcher Fragestellung die Eigenwerte und Eigenvektoren ganz natürlich entstehen. Danach besprechen wir, wie man diese findet beziehungsweise berechnet. Ein wichtiger Begriff wird die Diagonalisierbarkeit von Endormorphismen sein. Wir gehen darauf detailliert ein.

Marco Hien

Kapitel 11. Skalarprodukte, euklidische und unitäre Vektorräume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel stehen reelle oder komplexe Vektorräume im Vordergrund. Wir betrachten zusätzliche Strukturen darauf, die einen Längen- und Winkelbegriff ermöglichen – verschiedene Typen von Skalarprodukten. Das Gram-Schmidt-Verfahren ist eine Konstruktion von Orthonormalbasen in einem solchen zusätzlich ausgestatteten Vektorraum.

Marco Hien

Kapitel 12. Der Dualraum

Zusammenfassung

Jeder Vektorraum über einem Körper hat einen Dualraum – der Vektorraum der Linearformen. Im endlich-dimensionalen Fall verhält sich diese Konstruktion sehr verträglich, der Dualraum zum Dualraum ist kanonisch wieder der originale Vektorraum. Jede lineare Abbildung zwischen Vektorräumen induzierte eine lineare Abbildung zwischen den Dualräumen. Isomorphismen zwischen einem endlich-dimensionalen Vektorraum und seinem Dualraum entsprechen nicht-entarteten bilinearen Paarungen auf dem Vektorraum.

Marco Hien

Kapitel 13. Hauptachsentransformation

Zusammenfassung

Das letzte Kapitel ist ein Highlight der Linearen Algebra 1 – der Hauptachsentransformationssatz. Wir sehen, wie das Skalarprodukt und der damit verbundene Begriff von Orthogonalität bei damit verträglichen – das heißt selbstadjungierten – Matrizen benutzt werden kann, um deren Diagonalisierbarkeit zu beweisen. Analoge Methoden erlauben die Diagonalisierung auch von hermiteschen Matrizen und unitären Matrizen über den komplexen Zahlen. Für reelle orthogonale Matrizen erhält man immerhin noch eine nahezu diagonale Normalform mit Drehmatrizen als Diagonalblöcken.

Marco Hien

Backmatter

Titel: Lineare Algebra I
verfasst von: Marco Hien
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-69211-0
Print ISBN: 978-3-662-69210-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-69211-0