Lineare Algebra II

Zu einem Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums, dessen Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt, hat man eine invariante Zerlegung des Vektorraums in verallgemeinerte Eigenräume. Das ist der erste Schritt zur Jordan’schen Normalform.

Der nächste Schritt zur Jordan’schen Normalform besteht darin, nilpotente Endomorphismen eines endlich-dimensionalen Vektorraums zu untersuchen. Wir entwickeln in diesem Kapitel die entsprechende Theorie, die zeigt, dass man eine Basis finden kann, so dass der nilpotente Endomorphismus durch eine Block-Diagonalmatrix mit Diagonalblöcken in einer Standardform dargestellt wird.

Dier Ergebnisse der vorangegangenen Kapitel ergeben nun das Theorem zur Jordan’schen Normalform. Wir fassen dies in diesem Kapitel zusammen und ziehen erste Folgerungen aus dem Theorem.

Die Existenz der Jordan’schen Normalform hat interessante Anwendungen in der Analysis. Wir führen zunächst Matrixnormen ein und betrachten die Konvergenz von Folgen von Matrizen. Damit wird die Definition der Exponentialreihe für eine Matrix möglich und durch Transformation auf die Jordan’sche Normalform kann man das Ergebnis leicht berechnen. Als eine weitere Anwendung besprechen wir positive stochastische Matrizen und deren Interpretation als Übergangsmatrix von stochastischen Zuständen in einem iterativen Prozess. Wir zeigen einen Spezialfall des Satzes von Perron-Frobenius und eine explizite Anwendung für das sogenannte Page-Rank-Verfahren zum Sortieren von Internet-Webseiten nach ihrer Wichtigkeit, das von google lange Zeit genutzt wurde.

Wir untersuchen Bilinearformen auf endlich-dimensionalen Vektorräumen genauer und in diesem Kapitel dann speziell die symmetrischen Bilinearformen. Wir zeigen, dass wir diese durch symmetrische Matrizen darstellen können und betrachten die zugehörige Äquivalenzrelation auf diesen Matrizen und deren Normalform.

In diesem Kapitel betrachten wir anti-symmetrische Bilinearformen. Wir werden voraussetzen, dass der Körper nicht die Charakteristik zwei haben soll. Nicht-entartete anti-symmetrische Bilinearformen nennt man symplektische Formen – diese sollen genauer untersucht werden.

Das Tensorprodukt zweier Vektorräume ist eine wichtige Konstruktion, die vielfach Anwendung findet. Sie führt bilineare Abbildungen in lineare Abbildungen über und kommt in sehr vielen Bereichen der Algebra und Geometrie vor. Die Verallgemeinerung zu endlich vielen Vektorräumen bildet die Grundlage, multilineare Abbildungen zu untersuchen. Die Definition des Tensorprodukt wird über eine universelle Eigenschaft formuliert.

In diesem Kapitel werden Multilinearformen besprochen. Eine wichtige Klasse sind die alternierenden Multilinearformen, die in der Geometrie von Mannigfaltigkeiten eine große Rolle spielen.

Definiert man eine analoge Struktur wie die eines Vektorraums statt über einem Körper über einem kommutativen Ring mit Eins, erhält man den Begriff eines Moduls. Der wesentliche Unterschied ist, dass es dann nicht immer eine Basis geben muss. Wir untersuchen in diesem Kapitel die Grundlagen von Moduln und bereiten insbesondere die folgenden Kapitel damit vor.

Viele Aussagen zum Polynomring und dem Ring der ganzen Zahlen beruhen in beiden Fällen auf der Division mit Rest. Abstrahiert man diesen Begriff, kommt man zu euklidischen Ringen. Wir bereiten einige Beobachtungen dazu vor, die dann im nächsten Kapitel benutzt werden, um den Elementarteilersatz für endlich-erzeugte Moduln über euklidischen Ringen – damit insbesondere einem Polynomring über einem Körper oder dem Ring der ganzen Zahlen – und über Hauptidealringen zu beweisen.

Der Elementarteilersatz für endlich-erzeugte Moduln über einem euklidischen Ring oder allgemeiner einem Hauptidealbereich liefert eine Klassifikation dieser Objekte – im Prinzip eine Verallgemeinerung der Aussage, dass jeder endlich-erzeugte Vektorraum über einem Körper \(\textbf{k}\) zu einem Vektorraum der Form \(\textbf{k}^n \) isomorph ist – allerdings in komplizierterer Weise, weil wir wissen, dass nicht jeder Modul frei ist und deshalb der Modul \(R^n \) als Modell nicht ausreichen wird. Im Fall des Rings \(\mathbb {Z}\) der ganzen Zahlen folgt eine Klassifikation der endlich-erzeugten abelschen Gruppen. Als Anwendung im Fall des Polynomrings erhalten wir einen alternativen Zugang zur Jordan’schen Normalform.