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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Lineare Algebra I

Kapitel 1. Vektorräume

Zusammenfassung
In diesem ersten Kapitel werden die Anfangsgründe der Theorie der Vektorräume — oder wie man auch sagen könnte — die elementare Theorie der Vektorräume dargestellt. Damit sind neben den relevanten Definitionen und Bezeichnungen die Herleitung der Ergebnisse über Basen und Dimension sowie erste Aussagen über Homomorphismen gemeint. Ausdrücklich vermieden werden hier komplexere Begriffe wie Quotientenraum und die Isomorphie-Sätze.
Max Koecher

Kapitel 2. Matrizen

Zusammenfassung
Matrizen werden in den Lehrbüchern zur Linearen Algebra sehr unterschiedlich behandelt. Die Darstellungen liegen aber in jedem Falle zwischen den beiden Extremen:
1
Matrizen sind lediglich ein Hilfsmittel zur Handhabung von Homomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume, man versuche daher nach Möglichkeit, sie zu vermeiden.
 
2
Matrizen sind legitime mathematische Objekte mit einem ausgeprägten Eigenleben, man soll sie daher als Selbstzweck untersuchen.
 
Max Koecher

Kapitel 3. Determinanten

Zusammenfassung
Seit Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851) sind die Determinanten den Mathematikern durch die 1826 erschienene Arbeit „De formatione et proprietatibus determinantium“ (Werke, Bd. III, S. 393–438) vertraut oder, wie sich Leopold Kronecker (1823–1891) ausdrückte, haben die Determinanten das Bürgerrecht in der Mathematik erworben (weitere historische Anmerkungen findet man im § 7). Bis heute bilden die Determinanten eine kraftvolle Methode zur Behandlung vieler mathematischer Probleme. Der Trend der Bourbaki-Zeit, möglichst die Teilgebiete der Mathematik „determinantenfrei“ zu behandeln, scheint überwunden zu sein: Determinanten sind und bleiben legitime mathematische Objekte, die jeder mathematisch Gebildete beherrschen sollte.
Max Koecher

Analytische Geometrie

Kapitel 4. Elementar-Geometrie in der Ebene

Zusammenfassung
Die Vektorräume stellen eine der grundlegenden Strukturen der heutigen Mathematik dar. Trotzdem muß sich die Theorie der Vektorräume u. a. daran messen lassen, inwieweit sie eine Hilfe ist beim Beweis geometrischer Sachverhalte. Hier ist bereits die ebene Geometrie, also die Geometrie in der euklidischen Ebene \(\mathop{\mathbb{R}}\nolimits^{2}\), ein Prüfstein für die Anwendbarkeit der Theorie.
Max Koecher

Kapitel 5. Euklidische Vektorräume

Zusammenfassung
Mit Ausnahme von einigen wenigen Stellen (1.4, 3.4, 4.7) wird im vorliegenden Kapitel nicht von der Determinanten-Theorie Gebrauch gemacht. Kapitel 5 kann daher weitgehend unabhängig von Kapitel 3 gelesen werden.
Max Koecher

Kapitel 6. Der ℝn als euklidischer Vektorraum

Zusammenfassung
Der Zahlenraum ℝn ist in natürlicher Weise ein euklidischer Vektorraum, im ℝn ist daher wie in jedem euklidischen Vektorraum die Gruppe der Bewegungen und die orthogonale Gruppe (5.5.1) definiert. Neben der allgemeinen linearen Gruppe ist die orthogonale Gruppe in vielen Teilgebieten der Mathematik und der Physik von besonderer Bedeutung. Gegenüber der allgemeinen linearen Gruppe ist die orthogonale Gruppe als Prototyp einer sogenannten „kompakten“ Gruppe (vgl. 4.2) ausgezeichnet.
Max Koecher

Kapitel 7. Geometrie im dreidimensionalen Raum

Zusammenfassung
Seit Descartes (vgl. 1.1.6) beschreibt man die Punkte der Ebene (oder des Anschauungsraumes) durch Paare (oder Tripel) von reellen Zahlen, also durch die Vektoren des \(\mathop{\mathbb{R}}\nolimits^{2}\) (oder des \(\mathop{\mathbb{R}}\nolimits^{3}\)). Bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts hatte sich diese Beschreibung allgemein durchgesetzt, ohne daß man dabei die Vektorraumstruktur der betreffenden Räume wesentlich ins Spiel brachte : Der \(\mathop{\mathbb{R}}\nolimits^{n}\) wurde meist nur als „Zahlenraum“ interpretiert, er war lediglich ein Hilfsmittel für geometrische Untersuchungen.
Max Koecher

Lineare Algebra II

Kapitel 8. Polynome und Matrizen

Zusammenfassung
Im Kap. 2 war die „elementare“ Theorie der Matrizen entwickelt worden, das heißt, es waren diejenigen Eigenschaften und Ergebnisse hergeleitet worden, die für beliebige Matrizen über einem beliebigen Grundkörper K gelten. Bei der Herleitung der Normalform einer Matrix in 2.6.2 spielte es z. B. keine Rolle, ob man eine Matrix mit rationalen Koeffizienten über ℚ oder über ℝ betrachtete.
Max Koecher

Kapitel 9. Homomorphismen von Vektorräumen

Zusammenfassung
In diesem abschließenden Kapitel wird die in 1.6.2 begonnene elementare Theorie der Homomorphismen von Vektorräumen zu einem ersten Abschluß gebracht. Es bezeichne K stets einen Körper.
Max Koecher

Backmatter

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