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2018 | Buch

Lineare Algebra

Grundlagen und Anwendungen

verfasst von: Prof. Dr. Peter Knabner, Prof. Dr. Wolf Barth

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Die erste Auflage hat als umfassendes Lehr-, Lern- und Referenzbuch der Linearen Algebra viel positive Resonanz hervorgerufen. In dieser zweiten Auflage wurde der Inhalt überarbeitet und erweitert. Ziel des Buchs ist es, die Theorie und Anwendungen linearer Strukturen und die Vernetzung der Inhalte deutlich zu machen. Es wird klar, wie z. B. Aspekte der affinen Geometrie (wichtig fürs Lehramt), Spektralanalyse und lineare Differentialgleichungen (essentiell in der Physik) sowie die Anfänge der linearen und quadratischen Optimierung (Teil der Wirtschaftsmathematik) zusammenhängen.

Die erarbeitete Theorie und Algorithmik wird durchgängig mit innermathematischen Themen verbunden. Die Leserinnen und Leser können auf diese Weise die Verbindungen zwischen den einzelnen Themengebieten erkennen und vertiefen. Darüber hinaus wird auch immer ein Bezug zu realen Anwendungen hergestellt. Eine klare optische Struktur der Inhalte ermöglicht es den Leserinnen und Leser zudem, den Kerntext von weiterführenden Bemerkungen leicht zu unterscheiden.Dieser Band wird durch einen Aufgaben- und Lösungsbuch ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Der Zahlenraum ℝn und der Begriff des reellen Vektorraums
Zusammenfassung
In diesem einführenden Kapitel werden zunächst der Zahlenraum ℝn sowie der Begriff des reellen Vekorraums betrachtet. Anhand von Beispielen werden erste lineare Gleichungssysteme untersucht. Zur Lösung dieser Systeme dienen die Eliminationsverfahren von Gauss und Gauss-Jordan. Desweiteren werden Themen wie Lineare (Un-)Abhängigkeit, die Dimension und das Skalarprodukt behandelt. Die einführenden Anwendungsbeispiele aufgreifend werden die zugrundeliegenden mathematischen Modelle hergeleitet. Schließlich werden affine Räume untersucht.
Peter Knabner, Wolf Barth
Kapitel 2. Matrizen und lineare Abbildungen
Zusammenfassung
Lineare Abbildungen werden allgemein betrachtet und lassen sich schließlich mithilfe von Matrizen darstellen. Die Rechnung mit Matrizen wird erläutert und die Struktur solcher Matrizen genauer untersucht. Die Fragestellung nach der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme lässt sich nun durch die Eigenschaften der zugehörigen Matrix beantworten. Abschließend werden die Determinante sowie das Vektorprodukt eingeführt.
Peter Knabner, Wolf Barth
Kapitel 3. Vom ℝ-Vektorraum zum K-Vektorraum: Algebraische Strukturen
Zusammenfassung
Für gewisse Anwendungen (z.B. Codierungstheorie) ist es nützlich andere „Zahlmengen“ als ℝ (nämlich endliche) zugrunde zu legen. Andererseits werden manche Fragestellungen einfacher, wenn man sie in der Erweiterung der komplexen Zahlen ℂ betrachtet. Wir wollen daher die Eigenschaften von ℝ mit Addition und Multiplikation abstrakt fassen, die in die bisherigen Überlegungen eingegangen sind.
Peter Knabner, Wolf Barth
Kapitel 4. Eigenwerte und Normalformen von Matrizen
Zusammenfassung
Eine Darstellungsmatrix ist abhängig von der Wahl der Basis des zugrundeliegenden Vektorraumes. Bei Koordinatentransformationen ändern sich daher diese Matrizen. In diesem Sinne gibt es unteri beliebigem Basiswechsel eine Normalform der Matrix. Das Problem, eine möglichst einfache Normalform ähnlicher Matrizen zu finden, hat eine Bedeutung, die weit über die lineare Algebra hinausgeht. In engem Zusammenhang steht die Eigenwerttheorie sowie die Diagonalisierbarkeit von Matrizen, welche ausführlich behandelt wird. Insbesondere wird die Jordansche Normalform eingeführt.
Peter Knabner, Wolf Barth
Kapitel 5. Bilinearformen und Quadriken
Zusammenfassung
In diesem Kapitel sollen (α-)Bilinearformen und darauf aufbauend, als klassisches Teilgebiet der Geometrie, Quadriken untersucht werden. Bilinearformen sind schon als Skalarprodukte auf ℝ-Vektorraum aufgetreten. Um auch innere Produkte auf ℂ-Vektorräumen zu erfassen, wird die Bedingung der Bilinearität erweitert. Einer der Gründe für das Interesse an symmetrischen Bilinearformen liegt darin, dass sie helfen, mit Mitteln der linearen Algebra nichtlineare quadratische Formen zu verstehen. Schließlich ist das Ziel in diesem Kapitel die Klassifikation der sogenannten Quadriken, d.h. der Lösungsmengen quadratischer Gleichungen.
Peter Knabner, Wolf Barth
Kapitel 6. Polyeder und lineare Optimierung
Zusammenfassung
Lineare Optimierung ist ein mathematisches Gebiet, das Mitte der 1940er Jahre aus Problemen derWirtschaftswissenschaften entstanden ist. Je nachdem, ob man die innermathematischen Aspekte, oder die Frage der Anwendungen in den Mittelpunkt stellt, kann man dieses Gebiet der reinen oder der angewandten Mathematik zuordnen: Zum einen handelt es sich um Polyedertheorie, die die zulässige Menge des Optimierungsproblems und das Verhalten eines linearen Funktionals, des Zielfunktionals, darauf beschreibt. Zum anderen handelt es sich um die effiziente und stabile algorithmische Lösung solcher linearer Optimierungsprobleme mit dem Simplex-Verfahren, zuerst veröffentlicht von G.
Peter Knabner, Wolf Barth
Kapitel 7. Lineare Algebra und Analysis
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die bereits algebraisch untersuchten Vektorräume mit Normen versehen, so dass sie nun auch für die Analysis zugänglich sind. Dies führt zur Einführung von Matrixnormen womit u.a. Potenzen von Matrizen auf Konvergenz untersucht werden können. Manche Ergebnisse der vorherigen Kapitel setzen die Endlichdimensionalität des Vektorraums voraus, wie etwa bei der orthogonalen Projektion. Wir werden untersuchen, inwieweit im speziellen Fall einer von einem inneren Produkt erzeugten Norm und der Vollständigkeit des Raums, d. h. eines Hilbert-Raums, auf die Endlichdimensionalität verzichtet werden kann.
Peter Knabner, Wolf Barth
Kapitel 8. Einige Anwendungen der Linearen Algebra
Zusammenfassung
In diesem abschließenden Kapitel werden verschiedene Anwendungsgebiete der Linearen Algebra vorgestellt: Ausgleichsprobleme, Eigenwerte unter Datenstörungen, Iterationsverfahren, Das Page-Rank-Verfahren von Google, Datenanalyse (-synthese und -kompression), Graphentheorie, Input-Output-Analyse, dynamische Systeme sowie stochastische Matrizen.
Peter Knabner, Wolf Barth
Backmatter
Metadaten
Titel
Lineare Algebra
verfasst von
Prof. Dr. Peter Knabner
Prof. Dr. Wolf Barth
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-55600-9
Print ISBN
978-3-662-55599-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55600-9