Lineare Algebra

im algebraischen Kontext

verfasst von: Prof. Dr. Laurenz Göllmann

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch vermittelt die Inhalte der Linearen Algebra, die in den ersten Studiensemestern der Mathematik, Physik, Informatik und Ingenieurwissenschaften üblicherweise behandelt werden: Ausgehend von einem Kompaktkurs über algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume erfolgt der Einstieg in die Lineare Algebra anhand der Matrizentheorie. Im weiteren Verlauf werden Homomorphismen, Endomorphismen und Bilinearformen sowie deren Bezug zu Normalformen von Matrizen erarbeitet und vertieft.

Bei der Darstellung des Stoffs wird ein großer Wert auf prägnante Beispiele gelegt, die zum Verständnis der Definitionen und Sätze einen wesentlichen Beitrag leisten. Die Inhalte werden darüber hinaus in zahlreichen Übungsaufgaben sowie einem eigenen Kapitel zu praktischen Anwendungen vertieft. Das Buch kann daher vorlesungsbegleitend eingesetzt werden, ist aber aufgrund seiner Ausführlichkeit auch gut als Nachschlagewerk für Fortgeschrittene geeignet.

In dieser überarbeiteten und erweiterten Neuauflage werden nun zusätzlich Homomorphismenräume, multilineare Abbildungen und das Tensorprodukt detailliert behandelt. Darüber hinaus wurde der Bestand an Übungsaufgaben gegenüber der Erstausgabe stark erweitert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Algebraische Strukturen

Zusammenfassung

In diesem einführenden Kapitel widmen wir uns zunächst der Aussagenlogik und der elementaren Mengenlehre. Wir benötigen diese Vorbereitungen, um wichtige algebraische Strukturen wie Gruppe, Ring, Körper und schließlich den Vektorraum zu definieren. Innerhalb einer algebraischen Struktur werden die Elemente einer Menge so miteinander verknüpft, dass wieder Elemente dieser Menge entstehen.

Laurenz Göllmann

Kapitel 2. Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten

Zusammenfassung

Einen klassischen Einstieg in die lineare Algebra bietet die Behandlung linearer Gleichungssysteme. Wir beschäftigen uns dabei zunächst mit einer Lösungsmethode, dem Gauß’schen Verfahren, und der Lösbarkeitstheorie. Mit der Einführung des Matrixbegriffs gelingt uns eine Formalisierung der behandelten Sachverhalte.

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Kapitel 3. Erzeugung von Vektorräumen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir den Aufbau von Vektorräumen.Wir werden feststellen, dass es für jeden Vektorraum V einen Satz von Vektoren gibt, der es ermöglicht, jeden weiteren Vektor als Linearkombination dieser Vektoren darzustellen. Solche Vektorsätze werden auch als Erzeugendensysteme von V bezeichnet. Trivialerweise bilden alle Vektoren von V zusammen ein Erzeugendensystem von V. Interessant ist aber die Frage, nach einem Satz von Vektoren, der ein minimales Erzeugendensystem von V darstellt. Derartige Vektorsätze werden als Basis bezeichnet.

Laurenz Göllmann

Kapitel 4. Lineare Abbildungen und Bilinearformen

Zusammenfassung

Eine Matrix A ∈ M(m × n,) ordnet einem Spaltenvektor x ∈ ⁿ über das Matrix- Vektor-Produkt einen Spaltenvektor y = Ax ∈ ^m zu. Somit vermittelt A eine Abbildung vom Vektorraum ⁿ in den Vektorraum Km. Hierbei gilt einerseits das Distributivgesetz A(x₁+x₂) = Ax₁+Ax₂ für alle x₁,x₂ 2 ⁿ, während andererseits für jeden Skalar λ ∈ die Regel A(λx) = λ(Ax) gilt.

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Kapitel 5. Produkte in Vektorräumen

Zusammenfassung

In jedem Vektorraum sind eine Addition und eine skalare Multiplikation definiert. Bislang haben wir uns nicht mit der Frage beschäftigt, ob es sinnvoll sein kann, auch eine Art Multiplikation zweier Vektoren zu definieren. Wir können eine Bilinearform β : V × V → als ein Produkt zweier Vektoren aus V auffassen, allerdings ist das Ergebnis für V ≠ kein Element aus V, also kein Vektor, sondern ein Skalar. Ist = ℝ bzw. = ℂ und β eine positiv definite symmetrische Bilinearform bzw.

Laurenz Göllmann

Kapitel 6. Eigenwerte und Eigenvektoren

Zusammenfassung

In Kap. 2 haben wir ein Fundamentalproblem der linearen Algebra behandelt. Ausgehend von der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme und dem Gauß-Algorithmus haben wir die Theorie um die regulären und singulären Matrizen aufgebaut. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einem weiteren Fundamentalproblem der linearen Algebra.

Laurenz Göllmann

Kapitel 7. Trigonalisierung und Normalformen

Zusammenfassung

Wenn ein Endomorphismus auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum nicht diagonalisierbar ist, so fehlt eine Basis aus Eigenvektoren. In diesem Kapitel werden wir Methoden entwickeln, mit denen wir in derartigen Fällen eine Basis bestimmen können, bezüglich der die Koordinatenmatrix des betreffenden Endomorphismus eine Gestalt besitzt, die einer Diagonalmatrix möglichst nahekommt. Wir sprechen dabei von schwach besetzten Matrizen, in welchen sich möglichst viele Nullen befinden.

Laurenz Göllmann

Kapitel 8. Anwendungen

Zusammenfassung

In den folgenden Abschnitten werden wir die gewonnenen Erkenntnisse, insbesondere die unterschiedlichen Ansätze zur Diagonalisierung und Faktorisierung von Matrizen, auf Problemstellungen aus anderen mathematischen Disziplinen anwenden. Aus den betrachteten Aufgabenstellungen ergeben sich wiederum vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der Physik, den Ingenieurwissenschaften, der Betriebswirtschaftslehre und anderen Fachgebieten.

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Kapitel 9. Zusammenfassungen und Übersichten

Zusammenfassung

Ein charakteristisches Merkmal der linearen Algebra ist ihr stringenter Aufbau aus Definitionen, Sätzen und Schlussfolgerungen. Es ist ausgesprochen hilfreich, wenn die wesentlichen Begriffe und vor allem die Zusammenhänge zwischen ihnen kurz, prägnant und übersichtlich dargestellt werden. In diesem Kapitel werden die wichtigsten Aussagen, Schlussfolgerungen und Äquivalenzen wiederholt und teilweise in grafischen Diagrammen wiedergegeben.

Laurenz Göllmann

Backmatter

Titel: Lineare Algebra
verfasst von: Prof. Dr. Laurenz Göllmann
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-61738-0
Print ISBN: 978-3-662-61737-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-61738-0