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Über dieses Buch

Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik, der Physik und Informatik in Bachelor- und Lehramts-Studiengängen. Es bietet ein lebendiges Bild der Linearen Algebra, wie sie üblicherweise im ersten Studienjahr behandelt wird.

Studierende der Mathematik und der mathematiknahen Studiengänge finden wichtige Begriffe, Sätze und Beweise ausführlich und mit vielen Beispielen erklärt und werden an grundlegende Konzepte und Methoden herangeführt.

Im Mittelpunkt stehen das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und des Aufbaus der Theorie sowie die Strukturen und Ideen wichtiger Sätze und Beweise. Es wird nicht nur ein in sich geschlossenes Theoriengebäude dargestellt, sondern auch verdeutlicht, wie es entsteht und wozu die Inhalte später benötigt werden.

Herausragende Merkmale sind:

durchgängig vierfarbiges Layout mit mehr als 150 Abbildungen prägnant formulierte Kerngedanken bilden die Abschnittsüberschriften ausführliche Übungsbeispiele laden zum „Learning by Doing“ ein Selbsttests in kurzen Abständen ermöglichen Lernkontrollen während des Lesensfarbige Merkkästen heben das Wichtigste hervor

„Hintergrund-und-Ausblick“-Boxen stellen Zusammenhänge zu anderen Gebieten und weiterführenden Themen herÜbersichtsboxen fassen wichtige Resultate zusammen.

mehr als 250 Verständnisfragen, Rechenaufgaben und Aufgaben zu Beweisen Das Buch wird allen Studierenden der Mathematik und mathematiknaher Studiengänge vom Beginn des Studiums bis in höhere Semester hinein ein verlässlicher Begleiter sein.

Die Inhalte dieses Buches basieren größtenteils auf dem Werk „Grundwissen Mathematikstudium – Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen“, werden aber wegen der curricularen Bedeutung hiermit in vollständig überarbeiteter Form als eigenständiges Werk veröffentlicht.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Wie lassen sich Mengen beschreiben?
  • Was ist eine Abbildung?
  • Wodurch ist eine Äquivalenzrelation gekennzeichnet?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

2. Algebraische Strukturen – ein Blick hinter die Rechenregeln

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Was bedeuten Gruppen, Ringe und Körper in der Mathematik?
  • Was versteht man unter der Symmetriegruppe eines Ornaments?
  • Was ist ein Polynom?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

3. Lineare Gleichungssysteme – ein Tor zur linearen Algebra

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Worin unterscheiden sich homogene und inhomogene Gleichungssysteme?
  • Was versteht man unter einer algorithmischen Bestimmung der Lösung?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

4. Vektorräume – von Basen und Dimensionen

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Können Funktionen Vektoren sein?
  • Enthält jedes Erzeugendensystem eine Basis?
  • Welche Dimension hat \(\mathbb{K}[X]\) über \(\mathbb{K}\)?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

5. Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Was bedeutet die Koordinateninvarianz des Vektorprodukts und des Spatprodukts?
  • Was versteht man unter der Hesse’schen Normalform einer Ebene?
  • Wie erfolgt die Umrechnung zwischen einem geozentrischen und einem heliozentrischen Koordinatensystem?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

6. Lineare Abbildungen und Matrizen – Brücken zwischen Vektorräumen

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Wie lassen sich lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen?
  • Was besagt die Dimensionsformel?
  • Wie wirkt sich ein Basiswechsel auf die Matrix einer linearen Abbildung aus?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

7. Determinanten – Kenngrößen von Matrizen

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Wie lautet die Leibniz’sche Formel?
  • Wie kann man entscheiden, ob eine Matrix invertierbar ist?
  • Was ist eine Multilinearform?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

8. Normalformen – Diagonalisieren und Triangulieren

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Wie berechnet man auf einfache Art Potenzen von Matrizen?
  • Welche Matrizen sind diagonalisierbar?
  • Wodurch unterscheidet sich eine Jordan-Normalform von einer Diagonalform?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

9. Euklidische und unitäre Vektorräume – orthogonales Diagonalisieren

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Was ist der kürzeste Abstand eines Vektors zu einem Untervektorraum?
  • Warum sind symmetrische Matrizen diagonalisierbar?
  • Sind die Darstellungsmatrizen orthogonaler Endomorphismen orthogonal?
  • Wann ist eine Matrix normal?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

10. Quadriken – vielseitig nutzbare Punktmengen

Zusammenfassung
Sie finden unter anderem Antworten zu …
  • Was ist ein hyperbolisches Paraboloid?
  • Warum ist die Signatur einer quadratischen Form träge?
  • Inwiefern löst die Pseudoinverse unlösbare Gleichungssysteme?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

Backmatter

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